Несобственный интеграл с бесконечными

ПРЕДЕЛАМИ (1-ГО РОДА).

Как следует из названия, к несобственным интегралам с бесконечными пределами относятся интегралы в тех случаях, если хотя бы один из пределов интегрирования равен , т. е. интегралы вида

, , .

Рассмотрим интеграл .

Определение. Пусть функция f(x) задана на промежутке [a,∞) и для любого А≥а существует интеграл вида . Несобственным интегралом с бесконечными пределами (или 1-го рода) называется предел

и обозначается .

Определение. Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл 1-го рода называется сходящимся, в противном случае ( т.е. равен бесконечности или не существует) – расходящимся.

Аналогично, несобственный интеграл вида сходится, если существует и конечен предел вида .

Для исследования сходимости несобственного интеграла вида необходимо воспользоваться свойством аддитивности по области, а затем для каждого слагаемого отдельно вычислить предел

где с - любое вещественное число.

Примеры.

1.

2.

Замечание.
Так как в обоих примерах интеграла имеют конечные значения, то они сходятся.

Рассмотрим примеры расходящихся интегралов.

3.

Так как для функций sin x и cos x на бесконечности предела не существует, то рассматриваемый интеграл расходится

4.

Следовательно, интеграл расходится.

На несобственные интегралы с бесконечными пределами распространяются многие свойства определенных интегралов, за исключением одного: интеграл от константы, не равной нулю, по бесконечному интервалу всегда расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода

Рассмотрим интеграл вида . Будем считать, что функция f(x) неотрицательна. Тогда рассматриваемый интеграл численно равен площади неограниченной справа криволинейной трапеции, изображенной ниже

Y

y=f(x)

X

O x=a

Для вычисления несобственного интеграла 1-го рода применяют формулу Ньютона-Лейбница. Однако, если вычисление первообразной затруднительно, то выясняют только вопрос о сходимости или расходимости интеграла, оценивая его значение.

Для этого используют теоремы о сравнении.

Теорема 1.

Если для любого x (при x≥a) выполняется неравенство

0≤f(x)≤g(x)

и если интеграл сходится, то интеграл тоже сходится, при этом выполняется следующее неравенство

≤ .

Теорема 2.

Если для любого x (при x≥a) выполняется неравенство

0≤g(x)≤f(x)

и если интеграл расходится, то интеграл тоже расходится, при этом выполняется следующее неравенство

.

Теорема 3.

Если для любого x (при x≥a) существует предел

,

то интегралы и

сходятся или расходятся одновременно.

Замечания.

1. В заявленных теоремах рассматриваются интегралы от неотрицательных функций.

2. Для оценивания несобственных интегралов теорема 3 является самой удобной в использовании.

3. Условие теоремы 3

означает, что заявленные функции не превосходят существенно друг друга на бесконечности, т.е. при x→∞.

4. Чаще всего исследуемый интеграл сравнивают с интегралом вида , который сходится при p>1 и расходится при p≤1 (доказать эти утверждения самостоятельно).

Для того, чтобы определить степень знаменателя p , нужно вычислить предел подынтегральной функции на бесконечности, используя оценку этой функции степенными функциями. В последнем равенстве под пределом будет находиться требуемый одночлен x^p. Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Определить сходимость несобственного интеграла

Свойство аддитивности по области представить несобственный интеграл в виде суммы двух слагаемых, первое – это определенный интеграл, т.е. имеет конечное значение, второе – это несобственный интеграл с новыми пределами интегрирования. Рассмотрим предел от подынтегральной функции

Заметим, что исходная подынтегральная функция и функция будут стремиться к бесконечности с одинаковой скоростью, т.е. являются эквивалентными на бесконечности, и, следовательно, интегралы будут сходиться или расходиться одновременно. Интеграл будет сходиться, так как степень одночлена в знаменателе p=2>1. Таким образом, интеграл также будет сходиться, т.е. будет конечен. Так как сумма двух конечных слагаемых - конечна, то исходный интеграл <∞, т.е. будет сходиться.

Определение.Несобственный интеграл первого рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Замечание.
Если неопределенный интеграл сходится абсолютно, то он тем более сходится.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл .

Так как функция cos x является знакопеременной, то и подынтегральная функция тоже знакопеременна. Проведем оценку этой функции

после чего рассмотрим новый несобственный интеграл , так как степень одночлена в знаменателе p=3>1, то он сходится, следовательно, сходится и интеграл <∞. Исходя из этого, приходим к выводу, что исходный интеграл сходится абсолютно.