Об учете систематических погрешнсотей в результатах измерений

Выше говорилось о сложностях выявления и учета систематических погрешностей в результатах измерений. Во многих случаях приходится специально исследовать влияние систематических погрешностей либо совершенствовать методику или программу измерений с целью их исключения или ослабления.

Далее рассмотрим простейший случай выявления и учета указанных погрешностей при выполнении эталонирования измерительного прибора, т.е. при определении точности работы прибора. Заметим, что в этом случае измеряемая величина известна, и значение СКП следует определять по формуле Гаусса (3.9). Кроме того, считаем, что систематическая погрешность постоянна по величине и знаку во всем диапазоне значений результатов измерений.

Если результаты измерений содержат систематическую погрешность D_сист, то, очевидно, и значение среднего арифметического х_о¢ исследуемого ряда х_i также будет содержать ту же погрешность:

х_о¢ = Х + D_сист , (3.32)

откуда находим

D_сист = х_о¢ - Х . (3.33)

Таким образом, истинные погрешности результатов измерений будут содержать как случайные D_сл , так и систематические погрешности D_сист:

D_i = х_i – Х = D_сл + D_сист . (3.34)

Предположим, что нами установлена величина систематической погрешности, тогда в ряду погрешностей её можно исключить и образовать ряд случайных погрешностей

D_сл = D_i - D_сист ,(3.35)

обработка которого выполняется по алгоритму, приведенному в примере 3.5.

В табл. 3.5 приведен простейший пример обработки результатов геодезических измерений (измерение горизонтального угла), содержащих систематическую погрешность.

Пример 3.8. Обработка результатов измерения горизонтального угла β_о = 63º47'33" теодолитом Т2, содержащих систематическую погрешность.

Решение.

Вычисляем среднее значение горизонтального угла по результатам произведенных измерений: β_о^´ = [β_i^´] /n = 63º 47' 34,3".

Систематическая погрешность определяется разностью Δ_сист = (β_о^´ - β_о) = + 1,3".

Исключаем из результатов измерений систематическую погрешность: β_i = (β_i^´ - Δ_сист).

Образуем ряд случайных погрешностей Δ_сл = (β_i - β_о) и возведем их значения в квадрат.

Получим сумму квадратов уклонений от истинного значения: [Δ_сл²] = 23,43.

Поскольку измеряемая величина была известна, то для определения СКП результата измерения используем формулу Гаусса (3.9):

СКП СКП (m_m) для рассматриваемого примера определим по формуле (3.11):

С учетом этого можно записать, что m_β ≈ 2".

Вопрос же появления систематической погрешнсоти в измерениях, равной примерно половине точности измерения угла, необходимо исследовать особо. Такая погрешность может получиться, например, из-за сравнительно большой погрешности центрирования измерительного средства в вершине измеряемого угла, т.е. из-за смещения центра прибора относительно вершины измеряемого угла. Если, например, длины сторон измеряемого угла равны 100 м, то погрешнсоть центрирования всего в 1 мм может дать систематическую погрешнсоть в измеренном угле в 2'', вполне сравнимую с требуемой точностью измерения угла. При указанных условиях центрировать прибор следует весьма и весьма тщательно.

Таблица 3.5

К примеру 3.8

№№ п/п	Результаты измерения, βi´	Система-тическая погрешность, Δсист	Исправленные значения результатов измерений, βi	Уклонения от истинного значения, Δсл	Квадраты уклонений, Δсл2
	63º 47' 34"	+ 1,3"	63º 47' 32,7"	- 0,3"	0,09
	38"	+ 1,3"	36,7"	+ 3,7"	13,69
	33"	+ 1,3"	31,7"	- 1,3"	1,69
	35"	+ 1,3"	33,7"	+ 0,7"	0,49
	35"	+ 1,3"	33,7"	+ 0,7"	0,49
	32"	+ 1,3"	30,7"	- 2,3"	5,29
	63º 47' 33"	+ 1,3"	63º 47' 31,7"	- 1,3"	1,69

В геодезии принято следующее правило: если погрешность от какого-либо источника составляет 1/3 – 1/5 от величины случайной погрешности измерений, то такую погрешность можно считать «ничтожной» (критерий «ничтожной погрешности») и не учитывать при обработке ряда случайных погрешностей. В данном случае указанный критерий применим и для систематических погрешностей. При меньших требованиях к точности измерений критерий «ничтожной погрешности» допускается устанавливать и по уровню 1/2.

Кстати, в примере 3.8 критерий «ничтожной погрешности» нельзя было применить, т.е. необходимо было учитывать величину систематической погрешности, что и было сделано при расчётах: систематическая погрешность примерно в полтора раза оказалась меньше случайной, характеристикой которой является СКП одного измерения. Это не подходит даже и для самого низкого принимаемого уровня «ничтожной погрешности».