Сколькими способами можно расставить на полке N книг, из которых k книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?

Методические рекомендации

По выполнению практических работ

по дисциплине

ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика

по специальности СПО

Программирование в компьютерных системах

г. Благовещенск, 2013г.

Разработчик:

ГБПОУ БМПК преподаватель Алпатикова Н.Г.

Рассмотрено на заседании ПЦК информационно-математических дисциплин, специальности 230115 и профессии 180103.01

Председатель ПЦК Шабаева Е.В.

Содержание

Пояснительная записка
Контрольные вопросы
Практическая работа № 1 «Решение комбинаторных задач»
Практическая работа № 2 «Вычисление вероятностей событий с использованием элементов комбинаторики»
Практическая работа № 3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей»
Практическая работа № 4 «Формула Бернулли»
Практическая работа № 5 «Составление функций ДСВ»
Практическая работа № 6 « Вычисление характеристик ДСВ. Вычисление характеристик функций от ДСВ»
Практическая работа № 7 «Вычисление характеристик биномиального распределения»
Практическая работа № 8 «Вычисление характеристик НСВ»
Практическая работа № 9 «Составление функции плотности НСВ»
Практическая работа № 10 «Построение вариационных рядов»
Практическая работа № 11 «Вычисление числовых характеристик выборки»
Практическая работа № 12 «Нахождение точечных оценок для генеральной средней (математического ожидания), генеральной дисперсии и генерального среднеквадратического отклонения»
Практическая работа № 13 «Вычисление интервальной оценки нормального распределения»
Практическая работа № 14 «Моделирование ДСВ и НСВ»
Практическая работа № 15 «Получение методами математической статистики результатов»
Практическая работа № 16 «Построение графов»
Практическая работа № 17 «Построение ориентированных графов»
Приложение (таблицы 1 и 2)
Информационное обеспечение

Пояснительная записка

Учебная дисциплина "Теория вероятностей и математическая статистика" – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, их цель состоит в том, чтобы, минуя слишком сложное изучение отдельного явления, обусловленного очень большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явлений. Изучение этих законов позволяет не только осуществить научный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действий случайности.

Вероятностный метод в науке не противопоставляет себя классическому методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учётом присущих ему элементов случайности.

Характерным для современного этапа развития любой науки является широкое и плодотворное применение вероятностных и статистических методов. Это вполне естественно, так как при углублённом изучении любого круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только выявление основных закономерностей, но и анализ возможных отклонений от них. В одних науках, в силу специфики предмета и исторических условий, внедрение вероятностных и статистических методов наблюдается раньше, в других – позже. В настоящее время нет почти ни одной науки, в которой так или иначе не применялись бы вероятностные и статистические методы.

Математические законы теории вероятностей – отражение реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический метод и по своему методу является одним из разделов математики, столь же логически точным и строгим, как и другие математические науки.

В соответствии с учебным планом колледжа на дисциплину "Теория вероятностей и математическая статистика" отводится 70 аудиторных часов, в том числе 30 часов практических работ.

Решение задач по теории вероятностей и математической статистике у студентов колледжа часто сопряжено со многими трудностями. Помочь студенту преодолевать эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач по всем разделам курса теории вероятностей и математической статистики – основное назначение данного пособия.

Известно, что при самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в постоянных консультациях по приёмам и методам их решения, так как найти путь к решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия студенту не под силу. Такие консультации студент может получить в данном пособии.

В начале каждой практической работы приводятся основные определения и формулы, задачи с решением.

Ход практической работы:

1. Познакомиться с теоретическим материалом

2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры), используя источники, указанные в разделе «Информационное обеспечение».

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. В тетрадях для практических работ выполнить задания, которые указаны в работе.

5. Защита практической работы.

Критерии оценивания практических работ

За полностью выполненную практическую работу ставится «зачет». Если какие-либо задания не выполнены или выполнены неверно, то студент получает от преподавателя указания для выполнения этого задания.

Контрольные вопросы

1. Элементы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания).

2. Случайные события и их классификация.

3. Классическое определение вероятности.

4. Статистическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.

5. Действия над событиями. Диаграммы Венна.

6. Теорема сложения вероятностей. Вероятность противоположного события.

7. Условная вероятность. Независимые события. Теорема умножения вероятностей.

8. Полная группа попарно несовместных событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

9. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

10. Наивероятнейшее число появлений события.

11. Понятие случайной величины и закона ее распределения. Виды случайных величин (дискретные, непрерывные).

12. Функция распределения случайной величины и ее свойства.

13. Понятие дискретной случайной величины и ее закона распределения. Многоугольник распределения. Примеры.

14. Функция распределения дискретной случайной величины и ее график.

15. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства и геометрический смысл.

16. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

17. Непрерывная случайная величина и функция ее распределения. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

19. Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики.

20. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики.

21. Нормальный закон распределения, его параметры и их вероятностный смысл. Влияние параметров распределения на вид кривой распределения.

22. Выражение функции распределения нормальной величины через функцию Лапласа. Вероятность попадания значения нормальной случайной величины в заданный интервал.

23. Теорема Бернулли. Значение закона больших чисел.

24. Понятие о центральной предельной теореме и ее следствиях.

25. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Способы отбора.

26. Построение дискретного вариационного ряда. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

27. Построение интервального вариационного ряда. Гистограмма частот и относительных частот.

28. Средняя арифметическая и ее свойства.

29. Дисперсия вариационного ряда и ее свойства. Исправленная выборочная дисперсия.

30. Точечные оценки параметров и методы их получения.

31. Интервальные оценки параметров. Доверительная вероятность. Доверительный интервал.

32. Основные понятия статистической проверки гипотез.

33. Модели и основные понятия регрессионного и корреляционного анализа.

34. Понятие “граф”. Элементы графа. Маршрут. Цепь (путь). Цикл. Ориентированный граф. Двудольный граф. Дерево. Полный граф. Степень вершины графа. Изолированная вершина графа. Концевая (висячая) вершина. Четные, нечетные графы. Однородные графы. Свойства графа.

35. Нагруженные графы. Минимальный путь в нагруженном графе

36. Ориентированные графы.

37. Эйлеровы и гамильтоновы графы

Практическая работа № 1 «Решение комбинаторных задач»

Основные понятия и определения.

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

, где n!=1*2*3*…*n

Пример.Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение.Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно . Получаем = .

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

.

Пример.Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Решение.Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:

Пример.Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

Решение.Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно .

Свойства сочетаний: ;

Указания к выполнению практической работы: для решения задач использовать данные таблицы №1. Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в учебном журнале. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

Задания:

1. В пассажирском поезде N вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде n человек, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

2. В группе N человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее k человек?

3. Предприятие может предоставить работу по одной специальности n женщинам, по другой - s мужчинам, по третьей - k работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются a претендентов: b женщин и a-b мужчин?

4. В шахматном турнире принимали участие N шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Сколькими способами можно расставить на полке N книг, из которых k книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?