На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

55. Докажите, что На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru .

56. На группу из 34 человек выделено две путевки в Сочи и Евпаторию. Сколькими способами можно распределить путевки? Известно, что один человек не может получить две путевки сразу. Известно, что один человек может получить две путевки сразу.

Перестановки

57. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

58. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

59. В ряду зрительного зала 15 кресел. Сколькими способами можно разместить на них 15 человек?

60. На полке n различных книг. Скольким способами их можно переставить?

61. Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 6 мужчин и 6 женщин таким образом, чтобы мужчины и женщины чередовались?

62. Сколько существует перестановок из n различных элементов, в которых один данный элемент идет непосредственно впереди другого данного элемента?

63. Сколько можно сделать перестановок из n различных элементов, в которых данные два стоят рядом?

64. Сколько можно сделать перестановок из n различных элементов, в которых данные два не стоят рядом?

65. Лингвисты расшифровывают записи некоторого племени. Известно, что каждый символ обозначает один звук. Всего в алфавите 26 символов. Сколькими способами можно сопоставить звуки и знаки письма? Во сколько раз уменьшится количество возможных вариантов, если ученым удалось найти 7 знаков, обозначающих гласные, и 19 – согласные?

66. Сколько существует различных последовательностей длины 5, составленных из трех 1 и двух 0?

67. Сколько существует различных пятизначных чисел, составленных из трех 1 и двух 0?

68. Бусы – это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать, но не переворачивать. Сколько различных вариантов бус можно сделать из 13 разноцветных бусин?

69. Предположим теперь, что бусы можно и переворачивать. Сколько тогда различных бус можно сделать из 13 разноцветных бусин?

70. Сколькими способами на доске из n вертикалей и горизонталей можно расположить n ладей так, чтобы они не могли бить друг друга? Ответьте на вопрос задачи, если все ладьи одинаковы и если все они различны.

71. Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов: а) «ВЕКТОР»; б) «ЛИНИЯ»; в) «ПАРАБОЛА»;
г) «БИССЕКТРИСА»; д) «МАТЕМАТИКА», используя все буквы.

Сочетания

72. Группе из пяти сотрудников выделено три путевки. Сколько существует способов распределения путевок, если:

· все путевки различны;

· все путевки одинаковы?

73. Сколько вариантов экзаменационной комиссии, состоящей из 5 человек, можно создать из 14 преподавателей?

74. Сколькими способами можно выбрать из n человек упорядоченную группу из k человек? Сколькими способами можно выбрать из n человек неупорядоченную группу из k человек?

75. У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого - 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

76. При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий?

77. Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

78. Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников: одного для участия в математической олимпиаде, другого – для участия в олимпиаде по физике. Сколькими способами это можно сделать, при условии, что олимпиады проходят в одно время?

79. Есть 3 билета в различные театры. Сколькими способами они могут быть распределены среди 25 студентов группы, если каждый студент может получить только один билет).

80. На группу из 25 человек выделены 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами они могут быть распределены (не более одного билета в руки)?

81. В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырех человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?

82. В классе, в котором учатся Петя и Ваня, – 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?

83. Во взводе 3 сержанта и 30 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования?

84. На школьном вечере присутствуют 15 юношей и 12 девушек. Сколькими способами можно выбрать из них четыре пары для танца?

85. Сколькими способами можно вырезать прямоугольник из клеток доски размером m × n, при условии, что стороны прямоугольника состоят из целого количества клеток?

86. Докажите формулу Р(n1,n2,…,nk)= На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru двумя способами.

Сочетания с повторениями

87. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов.

· Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

· Сколькими способами можно купить 8 открыток?

· Сколькими способами можно купить 12 открыток?

· Сколькими способами можно купить 12 открыток, чтобы среди них оказались открытки 3 фиксированных типов?

· Сколькими способами можно купить 20 открыток, чтобы среди них были открытки всех типов?

88. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?

89. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?

90. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?

91. Сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1 и 2?

92. Сколько существует различных бросаний пяти одинаковых кубиков?

Разные задачи

93. Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 50 и 70 бегунов соответственно, надо выбрать по одному бегуну для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?

94. На ферме есть 10 телят и 24 поросенка. Сколькими способами можно выбрать по одному теленку и поросенку? А просто двух любых животных?

95. В шахматном кружке занимаются 15 девочек и 20 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из двух человек, в которую обязательно должны входить одна девочка и один мальчик. Сколькими способами это можно сделать?

96. У одного филателиста есть 5 марок для обмена, а у другого – 10. Сколькими способами они могут обменять марку одного на марку другого?

97. В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать 5 человек для участия в олимпиадах по пяти различным предметам, если известно, что все олимпиады проходят одновременно? А если все олимпиады проходят в разное время?

98. В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать 5 человек для участия в олимпиаде по математике?

99. Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на пять?

100. Сколько слов, содержащих по пять букв каждое, можно составить из 33 букв, если допускаются повторения, но никакие две соседние буквы не должны совпадать, то есть такие слова, как «пресс» или «ссора», не допускаются?

101. Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру хранения?

102. Сколько существует вариантов итогов чемпионата по футболу из 20 команд, совпадающих в главном (то есть 3 призера и 4 вылетевшие команды)?

103. Сколько существует десятизначных чисел, в которых пять цифр 1, три цифры 2 и две цифры 3?

104. Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?

105. В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?

106. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга: а) две ладьи; б) двух королей; в) двух слонов; г) двух коней; д) двух ферзей?

107. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?

108. Сколькими способами можно поселить 7 студентов в 3 комнаты: одно-, двух- и четырехместную?

109. На группу из 34 человек выделено две путевки в Сочи и Евпаторию. Сколькими способами можно распределить путевки? Известно, что один человек не может получить две путевки сразу.

110. На группу из 15 человек выделено три путевки в Сочи, Евпаторию и Анапу. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу? Если известно, что один человек может получить сразу несколько путевок.

111. На группу из 15 человек выделено три путевки в Сочи. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу?

112. На группу из 15 человек выделено 15 различных путевок. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу?

113. На группу из 15 человек выделено 5 путевок в Сочи, 3 в Евпаторию и 7 в Анапу. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу?

114. На рояле 88 клавиш. Сколько существует последовательностей шести попарно различных звуков? (В последовательности звуки идут один за другим.) Сколько существует аккордов из шести звуков? (Аккорд получается, если любые 6 клавиш нажаты одновременно.)

115. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?

116. В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

117. Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике?

118. В классе 30 человек. Сколько существует способов разбить класс на две группы и в каждой выбрать старосту?

119. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из одной колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди них были карты каждой масти?

120. Сколько членов получится после раскрытия всех скобок в выражении На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru ?

121. Сколько различных делителей имеет число:

а) 2310; б) 10!

122. Определить, сколько рациональных членов содержится в разложении:

а) На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru ; б) На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

123. Какое число больше: На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru или На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru ?

124. Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

125. Сколько гирлянд можно составить и 5 красных шариков, 2 зеленых и 3 синих?

126. Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеются хотя бы две одинаковые цифры?

127. Сколько всего 6-значных чисел: a) без единиц в записи; б) по крайней мере, с одной единицей в записи?

128. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

129. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

130. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы: а) среди них был ровно один туз? б) ни одного туза; в)среди них был хотя бы один туз?

131. Сколько существует 6-значных чисел, у которых по 3 четных и нечетных цифры?

132. Сколько существует 10-значных чисел, сумма цифр которых равна: а) 2; б) 3; в) 4?

133. Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их?

134. На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

135. На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек. Сколько существует: а) треугольников; б) четырехугольников с вершинами в этих точках?

136. На плоскости даны 5 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?

137. Сколькими способами можно выбрать из 15 различных слов набор, состоящий не более чем из 5 слов?

138. Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?

139. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?

140. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более 3 юношей?

141. Сколькими способами можно составить из 9 согласных и 7 гласных слова, в которые входят 4 различных согласных и 3 различных гласных?

142. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 2, 3, 4.

143. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом?

144. Сколько существует способов выстроить в шеренгу 213 группу (25 человек)? А если ребята (9 человек) не стоят рядом?

145. На книжной полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие 2 из них не стояли рядом?

146. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует со своими соседями. Надо выбрать 5 рыцарей, чтобы освободить леди Джиневру. Сколькими способами это можно сделать, если среди выбранных рыцарей не должно быть врагов?

147. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ОБОРОНОСПОСОБНОСТЬ» так, чтобы никакие две буквы «о» не шли подряд?

148. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли подряд?

149. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз?

Комбинаторика разбиений

150. Сколькими способами можно разделить 14 конфет «Мишки на севере», 25 конфет «Ласточка» и 34 конфеты «Буревестник» между двумя детьми? Тот же вопрос, если каждый ребенок должен получить хотя бы пять конфет каждого вида.

151. Пусть р1, р2, …, рn – различные простые числа. Сколько делителей имеет число

q=p1a1 p2a2 … pnan, где а1, а2, … an – некоторые натуральные числа?

152. Сколькими способами можно разделить 10 белых грибов, 15 подберезовиков и 8 подосиновиков между 4 ребятами?

153. Сколькими способами можно разбить m+n+p различных предметов на 3 группы так, чтобы в одной было m, в другой n, а в третьей p предметов. Порядок предметов в группе не важен.

154. При игре в преферанс 32 карты делятся между 3 игроками по 10 карт каждому, а две карты остаются в прикуп. Найдите число различных сдач.

155. В студенческой группе, состоящей из 25 человек, при выборе старосты за выдвинутую кандидатуру проголосовали 12 человек, против – 10, воздержались – 3. Сколькими способами могло быть проведено такое голосование?

156. Сколькими способами можно разбить 6 человек на две команды по 3 человека в каждой?

157. Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по 5 человек в каждой?

158. Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по 5 человек в каждой?

159. Сколькими способами можно разбить 30 рабочих на три бригады по 10 человек в каждой бригаде? На 10 групп по 3 человека?

160. Компания, состоящая из 10 супружеских пар, разбивается на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки. Сколькими способами можно разбить их так, чтобы в каждой лодке оказалось двое мужчин и две женщины?

161. Даны 2k предметов. Рассматриваются всевозможные разбиения их на пары, причем разбиения, отличающиеся друг от друга только порядком внутри пар и порядком расположения пар, считаются совпадающими. Сколько существует различных таких разбиений?

162. Сколькими способами из группы в 25 человек можно сформировать 5 коалиций по 5 человек?

163. Сколькими способами из группы в 19 человек можно сформировать 7 коалиций по 2 человека и 1 коалицию из 5 человек?

164. Скольким способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по два туза?

165. Сколькими различными способами можно разделить 20 различных книг на 4 бандероли по 5 книг в каждой?

166. Сколькими различными способами можно разделить 19 различных книг на 3 бандероли по 5 книг и 1 бандероль в 4 книги?

167. Сколькими различными способами можно разделить 19 различных книг на 3 бандероли по 2 книги, 3 бандероли по 3 книги и 1 бандероль в 4 книги?

168. Сколькими различными способами можно разделить 19 одинаковых книг на 3 бандероли по 2 книги, 3 бандероли по 3 книги и 1 бандероль в 4 книги?

169. Сколькими способами можно разделить 7 одинаковых конфет между 3 детьми? Тот же вопрос, но каждый ребенок должен получить хотя бы одну конфету.

170. Сколькими способами можно разделить 7 различных конфет между 3 детьми? Тот же вопрос, но каждый ребенок должен получить хотя бы одну конфету.

171. Сколькими способами можно разбить число 10 на 4 слагаемых? Разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

172. Сколькими способами можно представить натуральное число n в виде 3 натуральных слагаемых? Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

173. 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение и учитывается лишь число голосов, поданных за каждое предложение?

174. Сколькими способами можно надеть пять различных колец на пальцы одной руки, исключая большой палец?

175. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?

176. Сколькими способами 12 полтинников можно разложить по пяти различным пакетам, если ни один из пакетов не должен оказаться пустым?

177. 7 студентов поехали кататься на лыжах в горы и остановились в маленьком отеле на 7 комнат. Считая, что каждый из них выбирает себе комнату наугад, найти вероятность того, что в двух комнатах окажется по два студента, в одной – сразу три, а остальные будут пусты.

178. Сколькими способами можно рассадить n вновь прибывших гостей среди m гостей, уже сидящих за круглым столом?

179. Сколькими способами 15 одинаковых пирожков можно раздать пяти различным детям, если ни один ребенок не должен остаться без пирожка?

180. Сколькими способами можно разбить 15 различных предметов на три группы так, чтобы в одной было 3, в другой – 5, а в третьей – 7 предметов?

181. Сколькими способами можно разбить 15 одинаковых предметов на три группы так, чтобы в одной было 3, в другой – 5, а в третьей – 7 предметов?

182. В комнате 3 окна. Сколькими способами можно распределить по ним 7 цветочных горшков, если каждое окно может вместить все 7 горшков, если порядок цветов на окне важен? Если порядок цветов на окне не важен?

183. Сколькими способами можно распределить 10 различных конфет между 3 детьми?

184. Сколькими способами можно распределить 10 одинаковых конфет между 3 детьми?

185. Сколькими способами можно распределить 10 одинаковых конфет между 3 детьми так, чтобы у каждого было хотя бы по две конфеты?

186. Сколькими способами можно распределить 10 различных конфет между 3 детьми, так чтобы первому досталось 2 конфеты, второму – 3, третьему – 5?

187. Сколькими способами можно распределить 10 одинаковых конфет между 3 детьми так, чтобы первому досталось 2 конфеты, второму – 3, третьему – 5?

188. Сколькими способами можно поставить 10 различных ваз на 3 полках?

189. Сколькими способами можно поставить 10 одинаковых ваз на 3 полках так, чтобы ни одна полка не оказалась пустой?

190. Сколькими способами можно повесить 10 различных елочных игрушек на три гирлянды?

191. Сколькими способами можно разложить 5 пятаков и 7 двухрублевых монет в 2 кармана?

192. Сколькими способами можно рассадить 5 вновь прибывших гостей среди 7 уже сидящих за круглым столом?

193. Сколькими способами можно распределить 10 синих, 5 красных и 12 зеленых шаров между двумя детьми так, чтобы каждому ребенку досталось хотя бы по одному шару каждого цвета?

194. 36 карт делятся между 4 игроками, по 6 каждому, и 12 остаются в колоде. Найдите число различных сдач.

195. Сколькими способами можно повесить 7 различных елочных игрушек между 4 уже висящими на одной гирлянде?

Вероятность

196. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.

197. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимают одновременно два шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета.

198. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынули наугад два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

199. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынули наугад пять шаров. Найти вероятность того, что два шара будут белыми, а три – черными.

200. Из урны, содержащей n перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2, …, n.

201. Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2, …, n.

202. 10 шаров раскладываются по 4 ящикам. Чему равна вероятность того, что в первом ящике окажется 1 шар, во втором – 2, в третьем – 3 и в четвертом – 4, если все шары одинаковые? Если все шары различны?

203. Из полной колоды карт выбирают шесть. Найти вероятность, что среди них окажется ровно один валет и ровно одна дама.

204. Из полной колоды карт выбирают шесть. Найти вероятность, что среди них окажется по крайней мере одна дама.

205. Из полной колоды карт выбирают шесть. Найти вероятность, что среди них окажется ровно один валет и по крайней мере одна дама.

206. Из полной колоды карт выбирают три. Найти вероятность, что среди них окажется по крайней мере один валет и по крайней мере одна дама.

207. Студент выучил 15 вопросов из 38. В билете 2 вопроса. Найдете вероятность, что студенту достанется 1 знакомый и один незнакомый вопрос.

208. В магазине электротоваров партия лампочек состоит из 800 изделий. Из ни 30 лампочек некачественные. Вы купили 10 лампочек. Какова вероятность, что ровно 3 из них окажутся некачественными?

209. В партии, состоящей из k изделий, имеется l дефектных. Из партии выбирается для контроля r изделий. Найти вероятность того, что из них ровно s изделий будут дефектными.

210. Найти вероятность того, что при вытаскивании трех карт из полной колоды в 52 карты получится комбинация тройка, семерка, туз.

211. При игре в кости бросаются 2 кости и выпавшие на верхних гранях очки складываются. Какова вероятность выбросить 12 очков?

212. (Генуэзская лотерея) В прошлые века процветала так называемая генуэзская лотерея. Суть её заключается в следующем. Участники лотереи покупали билеты, на которых стояли числа от 1 до 90. Можно было купить и билеты с двумя (амбо), тремя (терн), четырьмя (катерн) и пятью (квин) числами. В день розыгрыша лотереи из мешка, содержащего жетоны с числами от 1 до 90, вынимали пять жетонов. Выигрывали те, у кого все числа на билете были среди вынутых. Выигрыш по обычному билету составлял 15-кратную сумму стоимости билета, выигрыш на амбо был в 270 раз больше стоимости билета, на терн – в 5500 раз, на катерн – в 75 000 раз, на квин – в 1 000 000 раз. Вычислите вероятность выигрыша в каждом случае.

213. Компания из 10 человек садится за стол. Какова вероятность, что Таня и Ваня будут сидеть вместе, если места распределяются путем жребия?

214. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найдите вероятность событий:

А – «все вышли из лифта на четвертом этаже»;

В – «все вышли из лифта на одном этаже»;

С – «все вышли из лифта на разных этажах».

215. В розыгрыше по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнования имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий:

А – все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу;

В – две команды экстракласса попадут в одну группу, а три – в другую.

216.На бочонках лото написаны числа от 1 до n. Из этих n бочонков случайно выбираются два. Найти вероятности следующих событий:

А – на обоих бочонках написаны числа, меньшие, чем k (2<k<n);

В – на одном из бочонков написано число, большее, чем k, а на другом – меньшее, чем k.

217.Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:

А – в каждой из пачек не окажется по два туза;

В – в одной из пачек будет один туз, а в другой – три;

С – в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой окажутся все четыре.

Бином Ньютона. Полиномиальная формула

218. Раскрыть скобки: (а+в) 5, (3х+2у)6.

219. Найти коэффициент при х7 в выражении (2х+3)12.

220. Найти коэффициент при х10 в выражении (3х-2)13.

221. В выражении (x+2y)10 раскрыли скобки и привели подобные члены. Какой коэффициент будет стоять при выражении x4y6?

222. Доказать с помощью треугольника Паскаля:

· свойство симметричности биномиальных коэффициентов;

· основное свойство биноминальных коэффициентов;

· свойство биноминальных коэффициентов На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru .

223. Чему равна сумма На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru ?

224. Чему равна сумма На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru ?

225. Докажите тождество На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru .

226. Докажите тождество На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru .

227. Получить все различные коэффициенты, которые будут появляться при приведении подобных членов в формулах: (x+y+z)6 и (x+y+z+u)5.

228. Найти коэффициенты при х7 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (2+х34)13.

229. Найти коэффициенты при х8 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (1+х23)9.

230. Найти коэффициенты при х17 и х18 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (1+х57)20.

231. В каком из выражений (1+х23)1000, (1-х23)1000 будет после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при х17?

Рекуррентные соотношения

232. Подсчитать количество последовательностей длины N, состоящих из 0 и 1, в которых никакие две единицы не стоят рядом.

233. Посылка бандероли стоит 18 рублей, а на почте имеются марки по 4, 6 и 10 рублей. Сколькими разными способами можно наклеить на бандероль марки на нужную сумму?

234. Имеется возможность передавать 4 разных сигнала А, Б, В, Г, причем их передача занимает соответственно Т1, Т2 Т3, Т4 (целые) единиц времени. Сколько различных сообщений может быть передано за время Т (тоже целое)?

235. Абитуриент сдает в вуз 4 экзамена по 5-балльной системе и хочет набрать не менее 17 баллов. Сколькими способами он может это сделать?

236. Сколькими способами можно разбить натуральное число М на К простых слагаемых, где способы разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются разными? Например, при М=10 и К=2 ответом будет 3, так как 10=3+7=5+5=7+3.

237. В лототроне имеются бочонки с номерами от 1 до К. Последовательно вынимают по одному бочонку, записывают его номер и считают сумму записанных чисел. Сколькими способами может получиться сумма М?

238. В лототроне имеются бочонки с номерами от 1 до К. Последовательно вынимают по одному бочонку, записывают его номер и считают сумму записанных чисел, после записывания номера бочонок возвращается обратно в лототрон. Сколькими способами может получиться сумма М?

239. На единственной улице в деревне стоят К домов с известными координатами. Требуется соединить их телефонными проводами минимальной суммарной длины так, чтобы житель каждого дома мог пообщаться хотя бы с одним жителем другого дома.

240. В пригородном автобусе кондуктор следил за тем, чтобы все покупали билеты, и отмечал, сколько билетов (ki,j) куплено с i–й остановки до j–й. По известной матрице ki,j нужно найти промежуток времени, когда в автобусе было максимальное количество пассажиров, и чему оно равно.

241. Прямоугольная таблица размерами М×К произвольно заполнена цифрами от 0 до 9. Найти путь из левого нижнего угла в правый верхний с максимальной суммой цифр в клетках пути (разрешается на каждом шаге переходить вверх или вправо).

242. В романе N глав, причем m-я глава состоит из Ар страниц. Роман нужно разбить на К томов, причем главы должны идти по порядку и главы нельзя разбивать в разные тома. Какова может быть минимальная толщина самого толстого тома при этом?

243. Для последовательности с f(1)=5 и f(2)=13, удовлетворяющей рекуррентному соотношению f(к+2)=5f(к+1)–6f(к), выписать формулу общего члена.

244. Для последовательности с f(0)=6 и f(1)=24, удовлетворяющей рекуррентному соотношению f(к+2)=6f(к+1)–9f(к), выписать формулу общего члена.

245. Для последовательности с f(0)=4, f(1)= –7 и f(2)=15, удовлетворяющей рекуррентному соотношению f(к+3)=
= –6f(к+2)–11f(k+1)–6f(к), выписать формулу общего члена.

246. Найдите общее решение рекуррентных соотношений:

a) аn+2–7an+1+12an=0;

b) аn+2+3an+1–10an=0;

c) аn+2+9an=0 ;

d) аn+2+4an+1+4an=0.

247. Найдите решение рекуррентного соотношения:

a) аn+2–5an+1+6an=0, а1=1, а2= –7;

b) аn+2–4an+1+4an=0, а1=2, а2=4.

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ГРАФОВ

Основные определения и примеры графов

1. В шахматном турнире по круговой системе участвуют семь студентов. Известно, что Ваня сыграл шесть партий, Толя – пять, Леша и Дима – по три, Семен и Илья – по две, Женя – одну. С кем сыграл Леша?

2. Покажите, что следующие объекты можно рассматривать как графы:

· вершины и ребра многогранника;

· план лабиринта;

· дружеские отношения в группе студентов;

· генеалогическое дерево;

· теннисный турнир;

· страны на карте.

3. На рисунке изображены молекулы этилена и бензола; через С и Н обозначены атомы углерода и водорода соответственно. Можно ли считать эти диаграммы графами? Если да, то что будет являться необходимым условием для того, чтобы граф представлял собой молекулу какого-либо углеводорода?

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

4. Могут ли степени вершины в простом графе быть равны:

· 8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2;

· 7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1;

· 6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2.

5. Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

6. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

7. Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

8. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, 8 телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и 3 телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

9. В группе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этой группе), 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?

10. В некоторой стране 19 регионов. Может ли оказаться так, что у каждого региона 1, 5 или 9 соседних регионов?

11. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?

12. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

13. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 20 команд. Какое наименьшее число игр должно быть сыграно, чтобы среди любых трех команд нашлись две, уже сыгравшие между собой?

14. Нарисуйте полный граф с n вершинами, если:

а) n = 2; б) n = 3; в) n = 5.

15. Какова степень каждой вершины полного графа, у которого n вершин?

16. Спортивные соревнования проводятся по круговой системе. Это означает, что каждая пара игроков встречается между собой ровно один раз. В соревновании с двенадцатью участниками провели все встречи. Сколько было сыграно встреч?

17. Может ли полный граф иметь 7, 8, 9 или 10 ребер?

18. В некотором государстве система авиалиний устроена так, что любой город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими и из любого города в любой другой можно перелететь, сделав не боле одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом государстве?

19. Какие из предложенных графов являются регулярными?

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

20. В некоторой компании любые два знакомых не имеют общих знакомых, а любые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Докажите, что в этой компании все имеют одинаковое число знакомых.

21. Известно, что в компании каждый человек знаком не менее, чем с половиной присутствующих. Докажите, что можно выбрать из компании четырех человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми.

22. Спортивные соревнования проводятся по круговой системе. Это означает, что каждая пара игроков встречается между собой ровно один раз. Докажите, что в любой момент времени найдутся хотя бы два игрока, проведшие одинаковое число встреч.

23. Докажите, что в любом графе найдутся по крайней мере две вершины одинаковой степени.

Матрицы, ассоциированные с графом

24. Дана симметричная матрица размером n × n. В каждой строке расположено нечетное число единиц, остальные элементы равны нулю. Элементы на главной диагонали равны нулю. Доказать, что n является четным.

25. Опишите матрицы смежности полных графов, вполне несвязных графов. Что можно сказать о матрице смежности простого графа и его дополнения?

26. Изобразите матрицу смежности и инциденций графа:

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

27. Изобразите матрицы смежности, инциденций графа:

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

28. Дана матрица смежности. Изобразите граф, ей соответствующий.

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

29. Дана матрица инциденций. Изобразите граф, ей соответствующий.

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

30. Установить, какие из следующих матриц являются матрицами смежностей простого графа, какие – матрицами инциденций и какие не являются ни теми, ни другими.

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

Изоморфизм графов

31. Являются ли изоморфными графы? Ответ обосновать.

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

32. Докажите, что графы являются изоморфными.

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

33. Докажите, что графы являются изоморфными.

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

34. Докажите, что графы не изоморфны.

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

35. Докажите, что графы не изоморфны.

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)? - student2.ru

Достижимость и связность

36. Дана матрица смежности графа. Не изображая граф, ответьте на следующие вопросы:

· Какова степень пятой вершины? Назовите смежные с ней вершины.

Наши рекомендации