Методические указания к решению задач

Задача 1

По данным, представленным в таблице 1, изучается зависимость балансовой прибыли предприятия торговли Y (тыс. руб.) от следующих факторов:

X 1 - объем товарных запасов, тыс. руб.;

X 2 - фонд оплаты труда, тыс. руб.;

X 3 - издержки обращения, тыс. руб.;

X4 - объем продаж по безналичному расчету, тыс. руб.

Таблица 6.1.

Месяц	У	Х1	Х2	Х3	Х4
	41321,57	300284,10	19321,80	42344,92	100340,02
	40404,27	49107,21	20577,92	49000,43	90001,35
	37222,12	928388,75	24824,91	50314,52	29301,98
	37000,80	724949,11	28324,87	48216,41	11577,42
	29424,84	730855,33	21984,07	3301,30	34209,84
	20348,19	2799881,13	11000,02	21284,21	29300,00
	11847,11	1824351,20	4328,94	28407,82	19531,92
	14320,64	1624500,80	7779,41	40116,00	17343,20
	18239,46	1115200,93	18344,11	32204,98	4391,00
	22901,52	1200947,52	20937,31	30105,29	14993,25
	27391,92	1117850,93	27344,30	40294,40	104300,00
	44808,37	1379590,02	31939,52	42239,79	119804,33
	40629,28	588365,77	29428,60	55584,35	155515,15
	31324,80	434281,91	30375,82	49888,17	60763,19
	34847,92	1428243,59	33000,94	59866,55	8763,25
	33241,32	1412181,59	31322,60	49975,79	4345,42
	29971,34	1448274,10	20971,82	3669,92	48382,15
	17114,90	4074616,71	11324,93	26032,95	10168,00
	8944,94	1874298,99	8341,52	29327,21	22874,40
	17499,58	1525436,47	10481,14	40510,01	29603,05
	19244,80	1212238,89	18329,90	37444,69	16605,16
	34958,32	1154327,22	29881,52	36427,22	32124,63
	44900,83	1173125,03	34928,60	51485,62	200485,00
	57300,25	1435664,93	41824,92	49959,92	88558,62

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии.

2. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

3. Выделите значимые и незначимые факторы в модели.

4. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

5.Для полученной модели проверить выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

6.Проверить полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.

Решение.

Для получения отчета по построению модели в среде EXCEL необходимо выполнить следующие действия:

1. В меню Сервис выбираем строку Анализ данных. На экране появится окно

Рис. 6.1. Анализ данных

2. В появившемся окне выбираем пункт Регрессия. Появляется диалоговое окно, в котором задаем необходимые параметры.

3. Диалоговое окно заполняется следующим образом:

Входной интервал Y - диапазон (столбец), содержащий данные со знамениями объясняемой переменной;

Входной интервал X - диапазон (столбцы), содержащий данные со значениями объясняющих переменных.

Метки - флажок, который указывает, содержат ли первые элементы отмеченных диапазонов названия переменных (столбцов) или нет;

Константа-ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении регрессии ( );

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона, в котором будет сохранен отчет по построению модели;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа, в котором будет сохранен отчет.

Если необходимо получить значения и графики остатков (е_i), установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Нажмите на кнопку ОК.

Вид отчета о результатах регрессионного анализа представлен на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Вывод итогов

Рассмотрим таблицу "Регрессионная статистика".

Множественный R - это , где R² - коэффициент детерминации.

R-квадрат — это R². В нашем примере значение R² = 0,8178 свидетельствует о том, что изменения зависимой переменной Y (балансовой прибыли) в основном (на 81,78%) можно объяснить изменениями включенных в модель объясняющих переменных – X1, Х2, X3, X4. Такое значение свидетельствует об адекватности модели.

Нормированный R-квадрат - поправленный (скорректированный по числу степеней свободы) коэффициент детерминации.

Стандартная ошибка регрессии S = , где S² = - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии); п — число наблюдений (в нашем примере равно 24), т - число объясняющих переменных (в нашем примере равно 4).

Наблюдения - число наблюдений п.

Рассмотрим таблицу с результатами дисперсионного анализа.

df - degrees of freedom - число степеней свободы связано с числом единиц совокупности п и с числом определяемых по ней констант (m+1).

SS - sum of squares - сумма квадратов (регрессионная (RSS-regression sum of squares), остаточная (ESS — error sum of squares) и общая (TSS— total sum of squares), соответственно). MS-mean sum - сумма квадратов на одну степень свободы.

F - расчетное значение F-критерия Фишера. Если нет табличного значения, то для проверки значимости уравнения регрессии в целом можно посмотреть Значимость F. На уровне значимости уравнение регрессии признается значимым в целом, если Значимость F < 0.05, и незначимым, если Значимость F 0.05.

Для нашего примера имеем следующие значения (таблица 6.2.)

Таблица 6.2.

Результаты дисперсионного анализа

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	m = 4	RSS=2,82E+09	RSS/df=7,04E+08	21,32	8,28E-07
Остаток	n-m-1=19	ESS=6,27E+08	ESS/df=3,30E+07
Итого	n-1 = 23	TSS=3,44E+09

Расчетное значение F-критерия Фишера составляет 21,32.

Значимость F= 8,28Е-07, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

В таблице 6.3. приведены значения параметров (коэффициентов) модели, их стандартные ошибки и расчетные значения t-критерия Стьюдента для оценки значимости отдельных параметров модели.

Таблица 6.3.

Оценка коэффициентов регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	Р-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y	b0 = 7825.51	mb0=5350.78	tb0 = 7825.51 / 5350.78 = = 1,4625	0.1599	-3373.80 b0 19024.83
X1	b1=-0.00098	mb1=0.00172	tb1=-0.569	0.5762	-0,0046 b1 0,0026
X2	b2=0.8806	mb2=0.15891	tb2=5.5417	0.00002	0,5480 b2 1,2132
X3	b3=0.0094	mb3=0.09754	tb3=0.0961	0.9244	-0,1948 b3 0,2135
X4	b4=0.0617	mb4=0.02647	tb4=2.3312	0.0309	0,0063 b4 0,1171

Анализ таблицы 6.3. позволяет сделать вывод о том, что на уровне значимости = 0.05 значимыми оказываются лишь коэффициенты при факторах X2 и Х4, так как только для них Р-значение меньше 0,05. Таким образом, факторы X1 и Х3не существенны, и их включение в модель нецелесообразно.

Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеют четкую экономическую интерпретацию, то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, как, например -0,1948 b₃ 0,2135. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть. Это также подтверждает вывод о статистической незначимости коэффициентов регрессии при факторах X1 и Х3.

Исключим несущественные факторы X1 и Х3и построим уравнение зависимости Y (балансовой прибыли) от объясняющих переменных X2 и Х4. Результаты регрессионного анализа приведены в таблицах 6.4., 6.5., 6.6.

Таблица 6.4.

Регрессионная статистика

Множественный R	0,9024465
R-квадрат	0,8144098
Нормированный R-квадрат	0,7967345
Стандартная ошибка	5515,53984
Наблюдения

Таблица 6.4.

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия				46,076253	2,08847E-08
Остаток		638844774,1	30421179,72
Итого

Таблица 6.4.

Оценка коэффициентов регрессии

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	5933,1025	2844,611998	2,085733487	0,0493883	17,40698	11848,798
Переменная X 2	0,9162546	0,132496978	6,915286693	7,834E-07	0,640712	1,1917972
Переменная X 4	0,0645183	0,024940789	2,58686011	0,0172036	0,012651	0,1163856

Оценим точность и адекватность полученной модели.

Значение R² = 0,8144 свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной Y (балансовой прибыли) по-прежнему в основном (на 81,44%) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющих переменных – Х2 и Х4.Это свидетельствует об адекватности модели.

Значение поправленною коэффициента детерминации (0,7967) возросло по сравнению с первой моделью, в которую были включены все объясняющие переменные (0,7794).

Стандартная ошибка регрессии во втором случае меньше, чем в первом (5515 < 5745).

Расчетное значение F-критерия Фишера составляет 46,08. Значимость F = 2.08847Е-08, что меньше 0,05. Таким образом, полученное уравнение в целом значимо.

Далее оценим значимость отдельных параметров построенной модели. Из таблицы 3 видно, что теперь на уровне значимости = 0.05 все включенные в модель факторы являются значимыми: Р-значение < 0,05.

Границы доверительного интервала для коэффициентов регрессии не содержат противоречивых результатов:

с надежностью 0.95 (с вероятностью 95%) коэффициент b₁ лежит в интервале 0.64 b₁ 1,19;

- с надежностью 0.95 (с вероятностью 95%) коэффициент b₂ лежит в интервале 0,01 b₂ 0,12

Таким образом, модель балансовой прибыли предприятия торговли запишется в следующем виде:

= 5933,1 + 0,916*Х2+ 0,065*Х4

Параметры модели имеют следующую экономическую интерпретацию. Коэффициент b₁ = 0,916, означает, что при увеличении только фонда оплаты труда (X2)на 1 тыс. руб. балансовая прибыль в среднем возрастает на 0,916 тыс. руб., а то, что коэффициент b₂ = 0,065, означает, что увеличение только объема продаж по безналичному расчету (Х4) на 1 тыс. руб. приводит в среднем к увеличению балансовой прибыли на 0,065 тыс. руб. Как было отмечено выше, анализ Р-значений показывает, что оба коэффициента значимы.

Средние коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле, приведенной выше в теме 2.

Э_х1=0,53*35,75/88,38=0,214

Согласно коэффициенту эластичности по первому фактору - рост цены на 1% приводит к увеличению объема предложения на 0,214%.

Э_х2=-9,89*5,44/88,38=-0,609

Второй средний коэффициент эластичности доказывает снижение объема предложения блага на 0,609% при увеличении заработной платы сотрудников фирмы на 1%.

Для выполнения задания 5 снова воспользуемся “Пакетом анализа”, встроенным в EXCEL.

В соответствии со схемой теста Голдфельда-Квандта упорядочим данные по возрастанию переменной X4, предполагая, что дисперсии ошибок зависят от величины этой переменной.

В нашем примере т =n/3 = 8.

Результаты дисперсионного анализа модели множественной регрессии, построенной по первым 8 наблюдениям (после ранжирования по возрастанию переменной Х4), приведены в таблице 6.5.

Таблица 6.5.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		5,07Е+08	2.53E+08	20,95996	0.003707
Остаток		ЕSS1=6.04E+07	1.21E+07
Итого		5.67E+08

Результаты дисперсионного анализа модели, построенной по последним 8 наблюдениям, приведены в таблице 6.6.

Таблица 6.6.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		1,77Е+08		1.000617	0.398654
Остаток		ЕSS2=3.98E+08
Итого		5.75E+08

Рассчитаем статистику F_расч, = ESS₂/ESS₁ (т.к. ESS₂>ESS₁). Для нашего примера получаем: F= 3,98Е+08/6,04Е+07 = 6,58.

Для того, чтобы узнать табличное значение, воспользуемся встроенной в EXCEL функцией FРАСПОБР(0,05;6;6) с параметрами 0,05 - заданная вероятность ошибки гипотезы Н₀; m-р = 8-2 = 6; m-р = 6 - параметры распределения Фишера. Данная функция находится в категории «статистических» функций.

Статистика F_расч больше табличного значения F= FPACIIOБP(0,05;6;6) = 4,28. Следовательно, модель гетероскедастична.

Для выполнения задания 6 по уравнению регрессии определим значения отклонений е_i = y_i - , для каждого наблюдения i (i=1,2,..., n).

Для этого в диалоговом окне Регрессия в группе Остатки следует установить одноименный флажок Остатки.

Затем рассчитываем статистику Дарбина-Уотсона по формуле:

Результаты расчетов представлены в таблице 6.7.

Таблица 6.7.

Таким образом, расчетное значение равно d=6,5Е+08/6,4Е+08 = 1,02.

По таблице критических точек распределения Дарбина-Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений п и количества объясняющих переменных т определить два значения: d_н- нижняя граница и d_в,- верхняя граница (таблица 6.8.).

Таблица 6.8

В нашем случае модель содержит 2 объясняющие переменные (m=2), нижняя и верхняя границы равны соответственно d_н = 1,19 и d_в = 1,55.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0 d d_н. Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция.

Задача 2

Задачи 2 во всех вариантах решаются в соответствии с материалом темы 4 «Нелинейные модели регрессии и их линеаризация».

Решение задачи №3

Среднесписочная численность промышленно-производственного персонала

промышленности Курской области, тыс. чел

Годы
y	194,8	194,5	192,9	189,8	189,2	185,6	180,4	180,5	166,8	155,5	146,8	133,4	131,2	124,5	122,3	122,8	121,5	114,5	104,1

Параметры уравнения тренда могут быть найдены добавлением линии тренда в диаграмме Excel или решением системы уравнений по МНК.

Рис.1 Аппроксимация линейной функцией

Рис.2 Аппроксимация параболической функцией

В случае использования уравнения прямой линии согласно МНК:

После преобразований получим систему:

В случае использования уравнения параболы согласно МНК:

Для решения системы и расчета показателей адекватности составляются технологические таблицы. Решение систем уравнений предполагает расчет необходимых сумм по фактическим данным.

Технологическая таблица для решения систем уравнений

t	y	t2	yt	t3	t4	yt2
	194,8
	194,5
	192,9
…
	104,1
=	=	=	=	=	=	=

Технологическая таблица расчета показателей

адекватности функции у_t = а+bt

t	y	yt	y- yt			(y- yt)2
	194,8	205,828	11,028	11,028	0,057	121,619
	194,5	200,216	5,716	5,716	0,029	32,675
	192,9	194,604	1,704	1,704	0,009	2,905
	189,8	188,992	-0,808	0,808	0,004	0,652
	189,2	183,381	-5,820	5,820	0,031	33,867
	185,6	177,769	-7,831	7,831	0,042	61,331
	180,4	172,157	-8,243	8,243	0,046	67,952
	180,5	166,545	-13,955	13,955	0,077	194,748
	166,8	160,933	-5,867	5,867	0,035	34,423
	155,5	155,321	-0,179	0,179	0,001	0,032
	146,8	149,709	2,909	2,909	0,020	8,463
	133,4	144,097	10,697	10,697	0,080	114,430
	131,2	138,485	7,285	7,285	0,056	53,076
	124,5	132,873	8,373	8,373	0,067	70,114
	122,3	127,262	4,962	4,962	0,041	24,616
	122,8	121,650	-1,150	1,150	0,009	1,323
	121,5	116,038	-5,462	5,462	0,045	29,837
	114,5	110,426	-4,074	4,074	0,036	16,599
	104,1	104,814	0,714	0,714	0,007	0,510
Сумма	0,692	869,170

- средняя ошибка аппроксимации

Стандартное отклонение:

Технологическая таблица расчета показателей

адекватности функции

t	y	yt	y- yt			(y- yt)2
	194,8	202,958	8,158	8,158	0,042	66,559
	194,5	198,304	3,804	3,804	0,020	14,472
	192,9	193,537	0,637	0,637	0,003	0,406
	189,8	188,658	-1,142	1,142	0,006	1,304
	189,2	183,666	-5,534	5,534	0,029	30,625
	185,6	178,561	-7,039	7,039	0,038	49,542
	180,4	173,344	-7,056	7,056	0,039	49,784
	180,5	168,014	-12,486	12,486	0,069	155,890
	166,8	162,572	-4,228	4,228	0,025	17,876
	155,5	157,017	1,517	1,517	0,010	2,301
	146,8	151,349	4,549	4,549	0,031	20,697
	133,4	145,569	12,169	12,169	0,091	148,089
	131,2	139,676	8,476	8,476	0,065	71,849
	124,5	133,671	9,171	9,171	0,074	84,107
	122,3	127,553	5,253	5,253	0,043	27,594
	122,8	121,322	-1,478	1,478	0,012	2,183
	121,5	114,979	-6,521	6,521	0,054	42,521
	114,5	108,523	-5,977	5,977	0,052	35,720
	104,1	101,955	-2,145	2,145	0,021	4,601
Сумма	0,723	826,123

Стандартное отклонение:

Сравним уравнения трендов по показателям адекватности.

Уравнения трендов
	0,954	3,64%	7,15
	0,956	3,81%	7,19

По показателям адекватности выбираем функцию у_t = а+bt, которую будем использовать для расчета показателей колеблемости и устойчивости.

Показатель колеблемости равен

Показатель устойчивости -

Показатель устойчивости характеризует близость фактических уровней к тренду на 95,4%.

2.Для оценки устойчивости уровней временного ряда как процесса их направленного изменения рассчитаем коэффициент корреляции рангов Ч.Спирмэна:

, где

n – число уровней временного ряда;

- разность рангов уровней и номеров периодов времени.

t	y	Ранг (y)
	194,8
	194,5
	192,9
	189,8
	189,2
	185,6
	180,4
	180,5
	166,8
	155,5
	146,8		-2
	133,4		-4
	131,2		-6
	124,5		-8
	122,3		-11
	122,8		-11
	121,5		-14
	114,5		-16
	104,1		-18
Сумма

Коэффициент Спирмена , достаточно близок к -1, что доказывает устойчивость снижения показателей ряда.

7.контрольные вопросы

1.Цели и задачи дисциплины. Место дисциплины в системе экономических дисциплин.

2.История отечественных и зарубежных эконометрических исследований.

3.Состояние и перспективы развития эконометрики.

4.Классификация эконометрических моделей.

5.Определения и основные понятия эконометрики.

6.Исследование взаимосвязи социально-экономических явлений.

7.Причинность, регрессия, корреляция.

8.Корреляционно-регрессионный анализ в экономике. Анализ и обобщение статистической информации.

9.Линейные модели регрессии.

10.Построение модели линейной множественной регрессии.

11.Понятие результативных и факторных признаков.

12.Построение модели связи в стандартизованном масштабе.

13.Интерпретация моделей регрессии.

14.Частные коэффициенты эластичности.

15.Способы расчета параметров уравнения регрессии.

16.Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

17.Тест Голдфельда-Квандта.

18.Тест Дарбина-Уотсона.

19. Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок МНК.

20. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

21.Оценка качества регрессии. Проверка адекватности и достоверности модели.

22. Значимость коэффициентов регрессии (критерий Стъюдента).

23.Дисперсионный анализ. Проверка достоверности модели связи (по F-критерию Фишера).

24. Коэффициенты и индексы корреляции. Мультиколлениарность.

25.Оценка значимости корреляции. Детерминация.

26.Средняя ошибка аппроксимации.

27.Принятие решений на основе уравнений регрессии.

28.Нелинейные регрессионные модели и их линеаризация

29.Нелинейные регрессионные модели. Типы моделей.

30.Регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные).

31.Проверка однородности данных. Тест Чоу

32.Производственная функция как функциональная модель сферы производства.

33.Экономическая сущность производственной функции. Основные виды производственных функций. Геометрическая интерпретация (изокванты).

34.Характеристики производственных функций. Линейное уравнение, связывающее темпы прироста.

35.Модели стационарных и нестационарных временных рядов.

36.Временные ряды в экономике. Компоненты временного ряда. Тренд.

37.Проверка гипотезы о существовании тренда. Метод Фостера-Стюарта.

38.Проверка гипотезы о существовании тренда. Критерий Валлиса и Мура.

39.Проверка гипотезы о существовании тренда. Метод разности средних.

40.Оценка устойчивости тенденции.

41.Идентификация временного ряда. Авторегрессионные модели.

42.Модели с распределенными лагами.

43.Метод Алмон.

44.Метод Койка.

45.Прогнозирование на основе временных рядов.

46.Методы выявления периодической компоненты. Модели сезонных колебаний.

47.Системы линейных одновременных уравнений.

48.Идентификация систем эконометрических уравнений.

49.Косвенный, двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов.

50.Метод максимального правдоподобия.

8.Рекомендуемая литература

Основная

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.

2. Практикум по эконометрике: Учеб. Пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Горденко и др.; Под ред. И.. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 192с.

3. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 344 с.

Дополнительная

1. Андрейчиков А.В. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 368 с.

2. Афанасьев В.Н., М.М. Юзбашев Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебник. – М.: Финасы и статистика, 2001. – 228с.

3. Басовский Л.Е. Прогнозирование и планирование в условиях рынка. Учебное пособие. - М.: ИНФРА - М, 1999. - 260с.

4. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие для студ. вуз. / Е.В. Бережная, В.И, Бережной. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с.

5. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. – СПб.: Издательство «Лань», 2000. – 480 с.

6. Губин Н.М. и др. Экономико-математематические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи. – М.: Радио и связь, 1993. – 376 с.

7. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА–М, 1999. – 402 с.

8. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика. 2000.

9. Евченко А.В., Кузьбожев Э.Н. Прогнозирование и программирование социального развития региона в переходной экономике: ресурсный подход / Научн. ред. д-р экон. наук, проф. Э.Н. Кузьбожев. - Курск: Изд - во РОСИ, 2000. - 216с.

10. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 656с.

11. Замков О.О., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, изд-во «ДИС», 1998. – 368 с.

12. Колемаев, В.А. Математическая экономика [Текст]: учебник / В.А. Колемаев. М.: ЮНИТИ, 1998. 240с.

13. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 311с.

14. Кузьбожев Э.Н. Экономическое прогнозирование (методы и модели): Учеб. пособие.( Курск. гос. техн. ун-т Курска), 1997. –84с.

15. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.Н. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – 4-е изд. – М.: Дело, 2000. – 400 с.

16. Статистическое моделирование и прогнозирование / Под ред. Гранберга А.Г.- М:Финансы и статистика 1990. -383с.

17. Шелобаев, С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе [Текст]: учебное пособие / С.И. Шелобаев. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 367с.

18. Шикин Е.В., Чхарташвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. - М.: Дело, 2000.

19. Шмойлова Р.А. Теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 560с.