Расчетные показатели анализа многоуровневой структуры

Структурные подразделения	Доли	Расчетные значения
dc1	d01	dr1	w0dc1d01dr1	w0d01dr1
№ предприятия 1	0,100	х	х	0,0799	х	х
	0,240	х	х	0,2494	х	х
	0,360	х	х	0,4855	х	х
	0,300	х	х	0,1915	х	х
Итого по объединению 1	1,000	0,333	х	1,0066	1,0190	х
№ предприятия 1	0,150	х	х	0,2101	х	х
	0,850	х	х	1,8709	х	х
Итого по объединению 2	1,000	0,657	х	2,0810	2,0010	х
Всего по главку А	х	1,000	0,600	3,0206	3,020	3,0228
№ предприятия 1	0,190	х	х	0,1045	х	х
	0,450	х	х	0,4050	х	х
	0,350	х	х	0,3672	х	х
Итого по объединению 3	1,000	0,500	х	0,8767	0,8900	х
№ предприятия 1	0,400	х	х	0,5200	х	х
	0,600	х	х	0,6540	х	х
Итого по объединению 4	1,000	0,500	х	1,1740	1,2476	х
Всего по главку Б	х	1,000	0,400	2,0507	2,1376	0,6976
Всего по отрасли (министерству)	х	х	1,000	5,1383	5,1575	5,1204

Запишем по данным итоговой строки систему индексов, используя формулу (5.20.):

Разность числителей и знаменателей факторных индексов позволяют разложить общий абсолютный прирост выработки по отрасли в целом 514 тыс. на сумму абсолютных приростов выработки за счет влияния каждого из факторов:

влияние изменения выработки на каждом из хозяйств отрасли
влияние изменения структуры численности работников в пределах объединения (изменение долей хозяйств)	-19
влияние изменения структуры численности работников в пределах главков (изменение долей объединений)
влияние изменения структуры численности работников отрасли (изменение долей главков)	-2

Отметим, что на увеличение средней выработки работников по отрасли в целом оказали влияние два фактора: повышение выработки работников по хозяйствам и более благоприятные структурные сдвиги в распределении работников между объединениями. В результате неблагоприятной структуры работников по хозяйствам объединений средняя выработка несколько снизилась. Влияние же структуры работников главков на изменение средней выработки практически не отразилась.

Аналогично решается и задача выявления влияния на динамику качественных показателей территориальных сдвигов. Например. по приведенной схеме индексного анализа (5.20.) можем определить влияние на динамику средней урожайности по республике факторов: изменения уровня урожайности отдельных хозяйств района; изменения доли посевных площадей хозяйств в общей посевной площади района; изменения доли посевных площадей хозяйств в общей посевной площади района; изменения доли посевов районов в посевной площади области и изменение доли посевов областей в общей посевной площади республики.

5.4. Анализ динамики средних величин в системе многофакторных индексов.

Рассмотрим взаимосвязь индексов переменного, постоянного составов и структурных сдвигов в системе многофакторных индексов. Многофакторные индексы, рассчитанные в целом по совокупности объектов, следует интерпретировать как индексы переменного состава. Тогда закономерно встает вопрос о необходимости исчисления по каждому факторному индексу переменного состава его составляющих взаимосвязанных индексов: индексы постоянного (фиксированного) состава и индекса структурных сдвигов.

В качестве примера приведем следующую схему взаимосвязи факторов уровня среднегодовой выработки на одного работающего:

(5.21.)

где Q – объем произведенной продукции за год;

Т_чел.-ч – отработанные за год рабочими человеко-часы;

Т_чел.дн. – отработанные за год рабочими человеко-дни;

Т – среднегодовая численность работающих;

Т_р – среднегодовая численность рабочих.

Обозначим факторы уровня среднегодовой выработки на одного работающего последовательно буквами русского алфавита:

- среднечасовая выработка (а);

- средняя продолжительность рабочего дня, час ;

- средняя продолжительность рабочего периода (года), дн. (в);

- доля рабочих в общей численности работающих (г).

Последовательное перемножение показателей-факторов дает показатель уровня среднегодовой выработки на одного работающего:

Общая схема взаимосвязи многофакторных индексов среднегодовой выработки переменного состава может быть записана так:

Следовательно:

Для исчисления в представленной схеме индексов постоянного состава необходимо по каждому из объектов определить соответствующие индивидуальные индексы, а затем взвесить эти индексы по численности работников отчетного периода:

	общий индекс производительности труда влияния четырех факторов постоянного состава;
	индекс производительности труда постоянного состава за счет влияния фактора а (среднечасовой выработки);
	индекс производительности труда постоянного состава за счет влияния фактора б (среднечасовой продолжительности рабочего дня);
	индекс производительности труда постоянного состава за счет влияния фактора в (средней продолжительности рабочего периода в днях;
	индекс производительности труда постоянного состава за счет влияния фактора г (доля рабочих в общей численности работающих).

Произведение факторных индексов производительности труда постоянного состава даст общий индекс производительности труда:

Поделив индексы производительности труда переменного состава на соответствующие индексы производительности труда постоянного состава получим индексы влияния структурных. Подобный подход позволяет на основе многофакторных индексных моделей значительно расширить рамки экономико-статистического анализа.

5.5. Статистический анализ расхождений в системах с внутренней структурой

В статистической практике приходится иметь дело с хозяйственными системами, обладающими внутренней структурой. В качестве примера может выступать объединение, включающее совокупность предприятий сходного производственного направления.

При рассмотрении данных по такой совокупности хозяйствующих субъектов приходится рассчитывать показатели, относящиеся как к каждой структурной единице (допустим предприятию), так и к сводным показателям, относящихся к системе в целом. В этом случае возможны два подхода к анализу статистических показателей: либо сводный объемный показатель представляет собой арифметическую или алгебраическую сумму соответствующих объемных показателей по структурным единицам совокупности; либо сводный качественный показатель представляет собой среднюю из соответствующих качественных показателей, характеризующих каждую структурную единицу.

В данном случае нас будут интересовать специфические проблемы оценки расхождений абсолютных приростов (допустим затрат на производство силикатного кирпича, полученное вследствие изменения уровней себестоимости продукции между данными по сумме предприятий и в целом по совокупности предприятий .

Рассмотрим разность указанных формул и произведем некоторые преобразования:

где i_q – темп роста объема продукции по каждому предприятию;

I_q – средний темп роста объема продукции в целом по совокупности предприятий; в преобразованиях учитывается, что

Из выражения (5.22.) видно, что расхождение между данными по сумме предприятий и в целом по объединению по величине прироста затрат на производство, полученного вследствие изменения уровня себестоимости, определяется затратами на производство продукции базисного периода (З₀) и разностью в темпах роста объема продукции по каждому предприятию i_q и в целом по объединению I_q. Суммирование в этой формуле производится по каждому предприятию, что позволяет сразу установить роль каждого из них в формирование общей величины расхождения. Используя приведенную формулу (5.22.) и на основе данных табл. 5.7. получим (тыс. р.):

№ предприятия	З0(Iq-iq)
	40000(1,25-1,5)=- 100000
	250000(1,25-1,0)=62500
Итого	- 37500

Аналогично можно рассмотреть разность величин прироста затрат на производство, полученного вследствие изменения физического объема, по сумме данных предприятий и по объединению в целом

(5.23.)

Из формулы (5.23.) видно, что расхождение между данными о величине прироста затрат на производство продукции вследствие изменения физического объема по сумме данных предприятий в целом по объединению связан с теми же факторами и отличается от рассмотренного выше только знаком. Таким образом, в рассматриваемом примере расхождения в расчетах по сумме данных предприятий и по объединению в целом связаны только с различиями в темпах изменения физического объема продукции по отдельным предприятиям со средним темпом роста этого показателя в целом.

Сказанное подтвердим расчетом по формуле (5.23.), тыс. р.:

№ предприятия	З0(iq-Iq)
	400000 (1,5-1,25)=100000
	25000(1,00-1,25)=62500
Итого

Аналогичные ситуации возникают при анализе двухфакторных моделей, связывающих между собой объем произведенной продукции, среднюю выработку и среднюю списочную численность работников; массу прибыли, уровень рентабельности предприятия и среднюю годовую стоимость производственных фондов; и вообще в любых полных моделях, где результативный объемный показатель представлен произведением качественного показателя-фактора на другой объемный показатель-фактор. Во всех этих случаях расхождения будут определяться различиями в индивидуальных и среднем темпах роста объемного показателя-фактора. Очевидно, что расхождения в абсолютных приростах связаны с воздействием структурного фактора, так как объемный показатель-фактор находится в знаменателе отношения, которым определяется средняя величина.

6. Принципы построения многофакторных индексов

6.1. Мультипликативные модели

Многофакторные индексные экономико-статистические модели служат важным аналитическим средством проведения комплексных исследований экономических явлений и процессов. С их помощью решаются задачи по моделированию уровней экономических явлений и факторному анализу динамики. В качестве основополагающего момента при построении многофакторных индексных моделей выступает возможность представить определенный экономический результат в виде функциональной зависимости от некоторого числа признаков-факторов: у=f(x_j).

Из общего числа индексных экономико-статистических моделей можно выделить следующие их виды:

– мультипликативные – результативный показатель представляется произведением некоторого числа факторов:

– аддитивные, в них сложные экономические явления и процессы находят отражение при суммировании значений признаков-факторов, т.е.

– смешанные модели – при их построении используют комбинацию двух предыдущих видов индексных экономико-статистических моделей.

При решении проблем конкретного статистического анализа порядок построения многофакторных индексных моделей всех видов подчиняется определенным правилам:

1. Порядок построения многофакторных индексных моделей должен основываться на объективно существующей взаимосвязи экономических явлений.

2. Модель должна описывать анализируемое явление с достаточной полнотой и допускала бы возможность изменения своей формы при всестороннем анализе объекта в рамках одной задачи.

3. Модель является, в сущности, результатом формального, абстрактного, представления действительности, в то же время, она должна иметь четкую практическую направленность и определенность.

4. При построении индексной модели следует предусмотреть возможность проверки правильности ее решения. Такая проверка подразумевает анализ последовательности решения многофакторных индексных моделей и ее результатов на соответствие теоретическим положениям математических действий, а также логике экономического исследования и сущности изучаемых явлений и процессов.

5. В ходе решения индексных моделей используются осредняемые значения признаков, что согласно теории средних величин, предполагает анализ однородной совокупности объектов. При проведении расчетов по неоднородной совокупности возможно появление результатов неадекватных реально протекающим процессам.

6. Порядок агрегирования факторов в одной модели ориентирован на использование показателей прямо определяющих результат. Объединение в одной модели показателей-факторов, находящихся в прямой и обратной связях с результативным показателем значительно осложняет последовательность решения модели.

7. Последовательность расположения отдельных факторов в модели определяется характером реально существующих связей между ними. Произвольные перестановки признаков-факторов в индексной модели нарушат содержательный смысл экономических явлений и процессов. При этом, на первом месте в индексной модели может находится либо объемный (экстенсивный), либо качественный (интенсивный) фактор. Логика местоположения признаков-факторов в индексной модели должна отражать экономическое содержание исследуемого явления.

8. Многофакторные индексные модели должны иметь такую форму, при которой объединение (агрегирование) факторов в укрупненные системы приводит к получению экономически определенных результатов. Несоблюдение этого требования превращает процесс построения многофакторных индексных моделей в решение чисто формальной задачи комбинирования отдельных показателей, не имеющей содержательного смысла.

В практике статистических исследований наиболее широкое распространение находят мультипликативные многофакторные индексные модели. Их отличают возможности: объединения в одной модели одновременно качественных и объемных показателей, последовательного агрегирования отдельных факторов в укрупненные комплексы, перехода к построению смешанных аддитивно-мультипликативных моделей. На основе мультипликативных многофакторных индексных моделей представляется возможным проанализировать наиболее сложные и многоуровневые связи факторных признаков.

Как уже отмечалось выше при построении мультипликативных многофакторных индексных моделей возможны два исходных пункта последовательности взаимосвязи признаков-факторов: либо на первом месте в индексной модели стоит объемный, либо качественный признак-фактор. В зависимости от этого алгоритмы решения многофакторных индексных моделей имеют свои особенности.

Рассмотрим методику построения и решения мультипликативных многофакторных индексных моделей, где на первом месте стоит объемный (экстенсивный) признак-фактор. В качестве примера возьмем модель факторов объема продукции:

(6.1)

где Q – объем продукции;

Т – среднесписочная численность работников;

Ф – среднегодовая стоимость основных производственных фондов.

В этой трехфакторной индексной мультипликативной модели объем продукции зависит: от численности работников (это объемный признак-фактор, который стоит на первом месте в индексной модели; от фондовооруженности труда и от фондоотдачи . Логика расположения факторов такова, что их нельзя произвольно поменять местами. Здесь компонента первого фактора должна выступать в знаменателе при расчете второго фактора и т.д.

Для формализации алгоритма решения мультипликативной многофакторной модели обозначим: фактор численности работников буквой "а", фондовооруженности труда буквой "б" и фондоотдачи буквой "в". В этом случае (когда на первом месте стоит объемный признак-фактор) индексная модель будет представлена в таком виде:

(6.2.)

Известно, что при индексировании объемного признака-фактора последующие компоненты взаимосвязи признаков фиксируются на уровне базисного периода, а признаки-факторы, значение которых уже определено, фиксируются на уровне отчетного периода.

Вычитая из числителя каждого индекса его знаменатель, получим, показатели абсолютных приростов (изменений) в целом результативного показателя и в разрезе влияния факторов индексной модели, т.е. применительно к рассматриваемому примеру будем иметь:

абсолютный прирост объема продукции в целом:

(6.3.)

в том числе:

– абсолютный прирост объема продукции за счет изменения среднесписочной численности работников (а):

(6.4.)

– абсолютный прирост объема продукции в результате изменения фондовооруженности труда (б):

(6.5.)

– абсолютный прирост объема продукции за счет изменения фондоотдачи основных производственных фондов (в):

(6.6.)

Сумма абсолютных приростов по факторам даст общую величину абсолютного прироста результативного показателя (в нашем примере общую величину абсолютного прироста объема произведенной продукции):

(6.7.)

Поделив все показатели абсолютных приростов на величину объема продукции базисного периода (Q₀), получим схему разложения общего темпа прироста результативного показателя на сумму темпов прироста по факторам:

(6.8.)

Структуру (удельные веса) абсолютного прироста по факторам представим выражением:

Схема решения вышерассматриваемой мультипликативной модели базируется на абсолютных значениях признаков-факторов базисного и отчетного периодов. Наряду с классическим подходом решения мультипликативных индексных моделей возможен и преобразовательный способ алгебраической комбинаторики, базируется на относительных (индексных) расчетах.

В мультипликативных индексных моделях, где на первом месте стоит объемный (экстенсивный) признак-фактор, последовательность решения ранее приведенной модели представим схемой:

(6.10.)

в том числе:

(6.11.)

(6.12.)

(6.13.)

(6.14.)

Поделив показатели абсолютных приростов (6.10 –6.13) на объем произведенной продукции базисного периода (Q₀), получим показатели темпов прироста, а именно:

(6.15.)

в том числе:

(6.16.)

(6.17.)

(6.18)

(6.19.)

Покажем расчет мультипликативной индексной модели (6.1.) на примере. А нашем распоряжении имеются следующие полностью сопоставимые данные за два смежных периода (табл. 6.1.):

Таблица 6.

Показатель	Обозначение	Период	Индекс
Базисный	Отчетный
Объем продукции, тыс. р.				1,58125
Среднегодовая численность работников, чел.	Т=а			1,10
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс. р.	Ф			1,265
Фондовооруженность труда, тыс. р.				1,15
Фондоотдача, р.		1,2	1,5	1,25

Произведем решение индексной модели (6.1.) по традиционной схеме:

в том числе:

;

;

Представим разложение общего темпа прироста объема продукции в разрезе влияния трех изучаемых факторов:

Определим удельный вес прироста, полученного за счет изменения каждого фактора в общем приросте объема произведенной продукции:

Осуществим решение этой же индексной модели по комбинаторному алгоритму, используя значения индексов по каждому признаку-фактору. Показатели абсолютных приростов объема продукции получим:

в том числе:

Значения темпов прироста в этой системе решения индексной модели определим по схеме:

в том числе:

На основе произведенных расчетов вытекает вывод, что при обоих способах решения индексной модели результаты совпадают. В связи с этим исследователь вправе решать, какому из способов расчета отдать предпочтение. Естественно, следует при этом учитывать и характер исходной статистической информации.

В несколько другом ключе решаются многофакторные индексные модели, когда на первом месте стоит качественный (интенсивный) признак-фактор. Как правило, качественные признаки являются расчетными величинами. При построении многофакторных индексных моделей в этом случае осуществляется по принципу: знаменатель при расчете первого факторного показателя одновременно является числителем при расчете второго факторного признака и т.д. Иллюстрацией подобного подхода может служить следующая четырехфакторная факторная мультипликативная индексная модель уровня производительности труда:

(6.20.)

Анализируя индексную модель (6.20.), отметим ее особенности: последовательное агрегирование признаков-факторов позволяет получить укрупненные экономические показатели. Так, умножив среднечасовую выработку на продолжительность рабочего дня в часах, получим показатель средней дневной выработки; перемножив же среднедневную выработку на число дней в рабочем периоде, получим значение средней выработки на одного рабочего; перемножив значения всех четырех факторов индексной модели, получим величину средней выработки на одного работающего. В связи с этим становится очевидно. что произвольное изменение местоположения факторов в индексной модели нарушит логическую комбинаторику агрегирования экономически осмысленных показателей.

Рассмотрим алгоритмы решения многофакторных мультипликативных индексных моделей, где на первом месте стоит качественный (интенсивный) фактор. Известно, что взаимосвязь относительных показателей воспроизводит пропорции абсолютных величин. Следовательно:

При индексировании качественных показателей веса в многофакторных индексных моделях фиксируется на уровне отчетного периода, а изменившиеся элементы индексных взаимосвязей закрепляются на уровне базисного периода.

Вычитая из числителя каждого индекса его знаменатель, получим показатели абсолютных приростов, а именно:

общий абсолютный прирост выработки:

в том числе:

- абсолютный прирост выработки за счет изменения среднечасовой выработки;

- абсолютное изменение выработки за счет изменения продолжительности рабочего дня;

- абсолютный прирост выработки за счет изменения продолжительности рабочего периода;

- абсолютный прирост выработки за счет изменения доли рабочих в общей численности работающих.

Общая схема взаимосвязи абсолютных приростов выработки выглядит так:

Алгоритм определения показателей абсолютных приростов в индексных многофакторных моделях, где на первом месте стоит качественный показатель-фактор, таков:

в том числе:

Поделив показатели абсолютных приростов выработки на уровень выработки базисного периода (w₀), получим алгоритм разложения общего темпа прироста выработки на сумму темпов прироста по факторам индексной модели:

в том числе:

Приведем пример решения многофакторной индексной модели уровня производительности труда.

Таблица 6.2.

Исходные данные:

№ ПП	Показатель	Обозначение	Базисный период	Отчетный период	Индекс
1.	Объем товаров и услуг в сопоставимых ценах, тыс.р.	Q			1,36607
2.	Отработано рабочими, тыс. чел.-ч.	Tчел.-ч.	1209,6		1,13839
3.	Отработано рабочими, тыс. чел.-дн.	Тчел.-дн.	151,2	170,0	1,12434
4.	Среднесписочная численность рабочих, чел.	Тр			1,07937
5.	Среднесписочная численность работающих, чел.	Т			1,01190
6.	Среднечасовая выработка рабочих, тыс. р. (стр. 1: стр. 2)	а	0,15	0,18	1,20000
7.	Средняя продолжительность рабочего дня, час (стр. 2: стр.3	б	8.0	8,1	1.0125
8.	Средняя продолжительность рабочего года, дн. (стр. 3: стр.4)	в			1,04167
9.	Доля рабочих в общей численности работающих (стр. 4: стр. 5)	г	0,75	0,80	1,06667
10.	Среднегодовая выработка на одного работающего, тыс. р. (стр. 1: стр. 5), или	w	216,0	291,6	1,35000

Расчет показателей многофакторной индексной модели производительности труда проведем по данным табл. 6.2.

Общий абсолютный прирост выработки составит:

в том числе:

Общий темп прироста производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным составил:

в том числе:

Многофакторная индексная модель уровня производительности труда является неполной (усеченной). Если обе части выражения (6.1.) умножить на среднесписочную численность работников (Т), получим полную индексную модель объема продукции (Q).

Известно, что изменения объема продукции зависит от изменения среднесписочной численности работников и уровня производительности труда. Абсолютное изменение объема продукции получим:

в том числе:

абсолютный прирост объема продукции за счет изменения среднесписочной численности работников представим выражением:

абсолютное изменение объема продукции в результате изменения уровня производительности труда представим:

В свою очередь абсолютное изменение уровня производительности труда зависит от четырех факторов. Для того, чтобы разложить общий прирост продукции за счет изменения производительности труда в разрезе факторов, на нее влияющих, необходимо абсолютные значения приростов выработки по каждому из факторов умножить на среднесписочную численность работников отчетного периода (Т₁), а именно: