Линейная алгебра. Векторная алгебра. Евклидово пространство
Задание 1.
Замечание. Здесь и далее верные варианты ответов помечены точкой и подчеркнуты.
Решение.
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
По правилу Крамера 
если Δ ≠ 0.
В данном случае:
Задание 2.
Решение.
Пусть даны матрица А размерности 
и матрица В размерности 
. Произведением матрицы А на матрицу В называется новая матрица С = А · В размерности 
. В данном случае 
; 
; 
Элементы матрицы С вычисляются по формуле:
В данном случае: 
Задание 3 .
Решение.
Разложение определителя по элементам второй строки имеет вид: 
Задание 4.
Пояснения.
Первое утверждение верно. Ранг матрицы по определению равен k, если существует хотя бы один отличный от нуля минор порядка k и все миноры высших порядков равны нулю. Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк и столбцов этой матрицы.
Второе утверждение верно. Если все миноры порядка k -1 равны нулю, то и минор порядка k равен нулю.
Третье утверждение не верно, т.к. общее число строк и столбцов матрицы может быть больше числа линейно независимых строк и столбцов этой матрицы 
Четвертое утверждение абсурдно.
Задание 5.
Решение.
Пусть даны два n-мерных вектора 
и 
.
Скалярным произведением этих векторов называется число:
.
Угол между векторами 
и 
определяется формулой: 
Если угол φ тупой, то 
или 
В данном случае: 
Задание 6.
Решение.
Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: 
В данном случае 
.
Задание 7.
Решение.
Вектор называется нормированным, если его модуль равен единице. В данном случае: 
;
;
; 
; 
; 
.
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
Задание 1.
Решение.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку K в заданном направлении (перпендикулярно прямой MN):
.
По условию перпендикулярности 
. 
Искомое уравнение принимает вид: 
Задание 2 .
Решение.
Уравнение окружности с центром в точке 
определяется уравнением:
Координаты центра заданы, поэтому достаточно определить радиус. Для этого используем условие прохождения искомой окружности через точку А(10;10); т.е. подставим координаты точки А в уравнение окружности.
Тогда, уравнение окружности принимает вид:
Задание 3.
Пояснения.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
Если в уравнении отсутствует некоторая переменная, например z, то плоскость параллельна соответствующей оси, например Oz. Если отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.
Задание 4.
Решение.
Угловой коэффициент определяется формулой:
Разделы «Комплексные числа», «Действия над комплексными числами», «Тригонометрическая форма комплексного числа» являются составными частями дидактической единицы «Комплексный анализ»
Задание 5.
Решение.
Тригонометрическая форма комплексного числа 
имеет вид: 
, где 
; 
.
В данном случае по геометрической иллюстрации видно, что 
и 
. Значит 
и 
.