Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ПРАКТИКУМ

Уфа 2013

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ПРАКТИКУМ

Допущено Редакционно-издательским советом УГАТУ

в качестве практикума для студентов технических специальностей

заочной формы обучения, изучающих дисциплину “Математика”.

Уфа 2013

Авторы: В. В. Водопьянов, С. Е. Сысоев, Т. Т. Кузбеков, С. В. Хасанов

УДК 51(07)

ББК 22.1я7

В62

Рецензенты:

в.н.с. Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, д-р физ.-мат. наук Мукминов Ф. Х.;

зав. кафедрой программирования и вычислительной математики БГПУ им. М. Акмуллы, д-р физ.-мат. наук, проф. Асадуллин Р. М.

Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия,

В62 дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных: Практикум / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа: УГАТУ, 2013. – 102 с.

ISBN 978–5–4221–0442-0

Практикум охватывает все разделы дисциплины “Математика”, изучаемые в первом семестре на технических специальностях заочной формы обучения. Содержит необходимые теоретические сведения о методах, применяемых при выполнении контрольных работ, примеры решения типовых задач, рекомендации по выполнению расчетно-графической работы по дисциплине “Математика”.

Практикум предназначен для студентов технических специальностей заочной формы обучения, изучающих дисциплину “Математика”.

Табл. 2. Ил. 9. Библиогр.: 3 назв.

Научный редактор: д-р физ.-мат. наук, профессор Булгакова Г. Т.

УДК 51(07)

ББК 22.1я7

ISBN 978–5–4221–0442-0 ã Уфимский государственный

авиационный технический университет, 2013

Оглавление

Введение …………………………………………………………..................... 5

1. Вычисление определителей ……………………………………….............. 6

1.1 Определители второго порядка ………………………………….......... 6

1.2 Определители третьего порядка …………………………………......... 6

1.3 Задачи для самостоятельного решения……………………………....... 7

1.4 Определители произвольного порядка ………………………….......... 7

1.5 Задачи для самостоятельного решения ….…......………………........ 10

2. Матрицы и операции над ними ….……………………………….............. 11

2.1. Понятие матрицы ...………....….......……..……………………........11

2.2. Умножение матрицы на число .............................................................. 11

2.3. Сложение матриц ................................................................................... 11

2.4. Умножение матриц ................................................................................ 12

2.5. Задачи для самостоятельного решения ……….…………………....... 13

2.6. Обратная матрица ................................................................................... 13

2.7. Задачи для самостоятельного решения ….………………………....... 15

3. Решение систем уравнений ......................................................................... 16

3.1. Линейные системы уравнений .............................................................. 16

3.2. Решение системы уравнений ................................................................. 18

3.3. Задачи для самостоятельного решения …………………………........ 19

4. Векторы, простейшие действия над ними .................................................. 20

4.1. Основные понятия .................................................................................. 20

4.2. Операции над векторами ........................................................................ 20

4.3. Задачи для самостоятельного решения ................................................. 21

5. Скалярное произведение векторов .............................................................. 22

5.1. Определение скалярного произведения и его свойства ...................... 22

5.2. Задачи для самостоятельного решения ................................................. 23

6. Векторное произведение .............................................................................. 24

6.1. Определение векторного произведения ............................................... 24

6.2. Свойства векторного произведения ...................................................... 24

6.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..….......... 26

7. Смешанное произведение векторов ............................................................ 27

7.1. Определение смешанного произведения и его свойства .................... 27

7.2. Задачи для самостоятельного решения …………………………......... 29

8. Прямая на плоскости ..................................................................................... 30

8.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости ...............................30

8.2. Задачи для самостоятельного решения ……….……………..………. 32

8.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой …. 32

8.4. Геометрические задачи с использованием различных уравнений прямой ............................................................................................................ 33

8.5. Задачи для самостоятельного решения …………..…………………. 34

9. Прямая и плоскость в пространстве ............................................................ 35

9.1. Плоскость в пространстве ..................................................................... 35

9.2. Задачи для самостоятельного решения ……..……..…………………. 37

9.3. Прямая и плоскость ................................................................................. 38

9.4. Задачи для самостоятельного решения …….………………………… 40

10. Кривые второго порядка на плоскости ....................................................... 42

11. Введение в анализ ......................................................................................... 44

11.1. Предел функции. Основные определения и обозначения ................. 44

11.2. Неопределенности вида 0/0 .................................................................. 46

11.3. Неопределенности вида ¥/¥ ................................................................ 49

11.4. Неопределенности вида ¥ - ¥, 0×¥, 0⁰, ¥⁰, 1^¥ ............................... 49

11.5. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва ... 50

12. Дифференциальное исчисление функций одной переменной .................. 53

12.1. Производная функции. Основные определения и обозначения ....... 53

12.2. Правило Лопиталя ................................................................................. 56

12.3. Геометрические приложения производной ........................................ 58

13. Исследование функций и построение графиков ........................................ 59

13.1. Возрастание и убывание функций. Экстремум .................................. 59

13.2. Направление выпуклости и точки перегиба ....................................... 60

13.3. Асимптоты ............................................................................................. 61

13.4. Построение графиков функций ........................................................... 62

14. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ........ 69

14.1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных ........... 69

14.2. Частные производные .......................................................................... 69

14.3. Дифференциал ...................................................................................... 70

14.4. Экстремумы функций нескольких переменных ................................ 71

14.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….…………. 72

15. Домашнее задание ........................................................................................ 73

15.1. Основные правила и требования ........................................................ 73

15.2. Варианты задания ................................................................................ 73

Список литературы ........................................................................................... 102

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов технических специальностей заочной формы обучения, выполняющих расчетно-графическую работу по линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференциальному исчислению функций одной и многих переменных. Приведенные краткие теоретические сведения, типовые задачи и примеры по каждому разделу позволяют успешно справиться с аналогичными заданиями самостоятельно и способствуют формированию предметного представления о соотношении теоретических и практических результатов.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Понятие матрицы

Матрицей порядка называется прямоугольная таблица чисел вида

.

Числа называются элементами матрицы. Матрицу будем коротко записывать . Если , то матрица называется квадратной порядка n.

Матрица с элементами ( ) называется единичной матрицей n-го порядка.

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу А на число l, необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.

Пример. Для матрицы найдем произведение . Из определения получаем

Сложение матриц

Если матрица имеет тот же порядок, что и матрица _, то можно определить их сумму – матрицу того же порядка – по правилу: для Матрицы различных порядков складывать нельзя.

Пример. Найдем сумму матриц где

Умножение матриц

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , построенная по правилу

Практически перемножение матриц осуществляется следующим образом: берут i-ю строку матрицы А, умножают ее поэлементно на j-й столбец матрицы В и эти произведения складывают. Полученное число является элементом матрицы С, стоящим в i-й строке и j-м столбце.

Пример. Найдем произведение матриц АВ, если

Внимание:

а) матрица А имеет порядок n´m, матрица В имеет порядок m´p, а их произведение АВ – порядок n´p;

б) в общем случае .

Примеры.

а) Найдем ВА, где матрицы А и В взяты из предыдущего примера:

б) Найдем значение матричного многочлена где

– единичная матрица третьего порядка.

Имеем

тогда

2.5. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Найти произведение матриц АВ, где

Задача 2) Найти произведения АВ и ВА, где

Задача 3) Найти значение выражения где

Обратная матрица

Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е – единичная матрица порядка n.

Матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Следующие условия являются необходимыми и достаточными, чтобы у матрицы была определена обратная матрица:

а) n=m;

б) определитель матрицы А не равняется нулю:

Следующие преобразования строк матрицы называются элементарными:

а) умножение любой строки на число, отличное от нуля;

б) прибавление к строке другой строки, домноженной на любое число;

в) перестановка строк;

г) отбрасывание нулевой строки.

Для нахождения обратной матрицы А^-1 применяется следующее правило:

а) выписывается матрица

(2.1)

б) с помощью элементарных преобразований над строками матрицы (2.1) превращают ее левую половину в единичную матрицу. Тогда ее правая половина превращается в обратную к ней матрицу А^-1.

Примеры.

а) Для матрицы найдем обратную.

По приведенному выше правилу получаем:

Итак, обратная матрица А^-1 равна

б) Решим матричное уравнение ХА + В = С, где

Умножим уравнение справа (порядок важен) на матрицу А^-1. Тогда

ХАА^-1 + ВА^-1 = СА^-1. Так как АА^-1 = Е, то ХЕ + ВА^-1 = СА^-1 или

= СА^-1- - ВА^-1 =(С-В)А^-1.

Найдем разность матриц

Вычислим матрицу А^-1

Тогда

2.7. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Найти где

Задача 2) Решить матричное уравнение где

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Линейные системы уравнений

Дана система m уравнений с n неизвестными

. (3.1)

Решением этой системы называется любая совокупность n чисел (a₁, a₂,..., a_n), которая при подстановке в систему вместо совокупности неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае она называется несовместной.

Матрицы

являются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (3.1).

Исследование на совместность и решение системы производят обычно одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы а_ii в матрице А называются диагональными. Метод Гаусса заключается в элементарных преобразованиях строк матрицы А₁ так, чтобы элементы преобразованной матрицы, стоящие ниже диагональных элементов, были нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они не должны обращаться в нуль. Если же при элементарных преобразованиях строк какой-либо диагональный элемент обратится в нуль (например, а_ii = 0), то поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i-й строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к построению ступенчато-диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо и далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид:

Ступенек в преобразованной матрице может быть несколько, причем разной длины. Элементы, которые будут стоять в углах таких ступенек, назовем ступенчато-диагональными (в данном примере это: а₁₁, а₂₂, а₃₄, а₄₅, а₅₆, ...).

Примеры.

а) Проверим совместность системы

Для этого запишем расширенную матрицу системы и проведем элементарные преобразования над строками:

Из сказанного выше вытекает, что данная система совместна.

б) Исследуем на совместность систему

Записав расширенную матрицу системы, с помощью элементарных преобразований получаем

Таким образом, данная система несовместна.

Решение системы уравнений

После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки. Количество уравнений в этой системе определяет количество основных неизвестных. Все остальные неизвестные считаются свободными, им придаются произвольные значения. В качестве основных неизвестных берут неизвестные при ступенчато-диагональных элементах.

Примеры.

а) Построим общее решение системы из первого примера предыдущего пункта. После элементарных преобразований (см. выше) получаем систему

.

Уравнений два, поэтому считаем х₁ и х₂ (стоящие при ступенчато-диаго-нальных элементах) основными, а х₃ и х₄ свободными. Находим из системы основные неизвестные через свободные:

,

.

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

б) Решим систему

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

Выбираем в качестве основных переменные х₁ и х₃, как стоящие при ступенчато-диагональных элементах, переменная х₂ берется свободной. Итак,

и общее решение системы

3.3. Задачи для самостоятельного решения

Исследовать и в случае совместности решить предлагаемые ниже системы линейных уравнений.

Задача 1) Задача 2)

Задача 3)

Основные понятия

Понятие вектора известно из школьного курса. Наиболее часто мы будем пользоваться координатной формой записи векторов: . Напомним, что всегда вектор предполагается свободным, т.е. его можно без изменения длины и направления переносить в любую точку пространства. В случае координатного задания вектора его длина вычисляется по формуле:

. (4.1)

Направление же вектора определяется углами a, b, g, образованными вектором с положительными полуосями координат Ох, Оу, Oz, которые можно найти из формул для направляющих косинусов этих углов:

(4.2)

Операции над векторами

Произведение вектора на скалярный множитель l определяется по формуле l = (lа₁, lа₂, lа₃).

Для двух векторов , их сумма и разность определяются по правилам:

Геометрически сумма и разность векторов строится как на рис. 1.

Рис. 1

Если точка О – начало координат, а М – точка с координатами (x, y, z), то вектор называется радиусом-вектором точки М.

Вектор с началом в точке А(x₁, y₁, z₁) и концом в точке В(x₂, y₂, z₂) в координатном виде записывается так: = .

Примеры.

а) В треугольнике АВС сторона АВ точками М и N разделена на три равные части: Найти вектор , если . Если построить треугольник и указанные вектора, то из геометрических правил сложения и вычитания легко получаются равенства т.е. . Так как , то Та-ким образом,

б) Найти длину вектора = (10, 15, -30) и его направляющие косинусы.

По формулам (4.1) и (4.2) определяем

в)Найти вектор , если А(2, 1, 0) и В(3, 0, 5).

Из формулы для координат вектора имеем = (3-2, 0-1, 5-0) =

= (1, -1, 5).

4.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что Найти вектор если = ,

Задача 2) Найти координаты вектора где А(0, 0, 1), В(3, 2, 1), С(4, 6, 5), D(1, 6, 3).

Задача 3) Даны радиусы-векторы вершин треугольника АВС: Показать, что треугольник АBC –равносторонний.

Задача 4) Вычислить длину вектора (1, 2, 1) и найти его направляющие косинусы.

Задача 5) Даны точки А(1, 2, 3) и В(3, -4, 6). Найти длину и направление вектора .

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Или

у - у₀ = k (х - х₀) . (8.9)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (х₀, у₀) и (х₁, у₁) записывается в виде

или . (8.10)

Пример. Составим уравнение прямой, проходящей через точки (-1, 3) и (2, 5).

Из (8.9) имеем или (х + 1)/3 = (у - 3)/2, или

2х - 3у + 11 = 0.

8.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если:

1) прямая проходит через точку М(-1, 2) перпендикулярно вектору = (2, -3);

2) прямая проходит через точку М(-1, 1) параллельно вектору = (2, 0);

3) прямая проходит через точки М₁(1, 2) и М₂(-1, 0).

Задача 2) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(8, 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв. ед.

Уравнений прямой

В различных геометрических задачах используются те или иные уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой. Наиболее часто используются следующие два факта: в общем уравнении прямой (8.1) коэффициенты при неизвестных образуют вектор = (А, В), ортогональный к этой прямой (вектор нормали); в уравнении

вектор = (l, m) параллелен этой прямой (направляющий вектор), а прямая проходит через точку (х₀, у₀).

Примеры.

а) Составим уравнение прямой, проходящей через точку (-2, -5), и параллельной прямой 3х + 5у + 2 = 0.

Из уравнения (8.8) имеем А(х+2)+В(у+5)=0. Из условия параллельности прямых заключаем, что ортогональные им вектора = (3, 5) и = (А, В) также параллельны. Следовательно, можно положить = = =(3, 5) (длина вектора нормали не имеет значения). Итак, нужная нам прямая имеет уравнение:

3(х + 2) + 5(у + 5) = 0 или 3х + 5у + 31 = 0.

б) Даны вершины треугольника А(2, 2), В(-2, -8), С(-6, -2). Составим уравнение медиан треугольника.

Медиана проходит через вершину А и делит отрезок ВС пополам. Определим координаты середины отрезка ВС: х₀ = ((-2) + (-6))/2 = -4,

у₀ = ((-8) + (-2))/2 = -5. Пользуясь теперь уравнением прямой (8.10), проходящей через две точки, получаем уравнение медианы, проходящей через вершину А: (х + 4)/6 = (у + 5)/7 или 7х - 6у - 2 = 0.

Аналогично находим уравнения остальных медиан:

х₁ = 0, у₁ = -3, (х + 6)/6 = (у + 2)/(-1), х + 6у + 18 = 0,

х₂ = -2, у₂ = 0, (х + 2)/0 = (у + 8)/8, х + 2 = 0.

в) Даны вершины треугольника А(0, 1), В(12, -1), С(6, 5). Составим уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.

Высота проходит через точку С, следовательно, ее уравнение можно записать в виде К(х - 6) + М(у - 5) = 0. Найдем координаты вектора нормали (К, М): так как наша прямая ортогональна стороне АВ треугольника АВС, то вектор, соединяющий точки А и В, является ортогональным прямой, его и можно взять в качестве вектора-нормали: (12 - 0, -1 - 1) = (12, -2). Итак, уравнение прямой имеет вид: 12(х - 6) - 2(у - 5) = 0 или 12х - 2у -62 = 0.

8.5. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Вычислить расстояние от прямой 2х - у + 1 = 0 до начала координат и до точки М(-1, 2).

Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, 2), В(2, -2), С(6, 1) найти:

1) уравнение стороны АВ;

2) уравнение высоты, проходящей через вершину С, и вычислить ее длину;

3) найти угол между этой высотой и медианой, проходящей через точку В.

Задача 3) Даны две вершины треугольника А(-10, 2) и B(6, 4); его высоты пересекаются в точке М(5, 2). Определить координаты третьей вершины С.

Плоскость в пространстве

При рассмотрении плоскости в пространстве необходимо иметь в виду, что методика решения задач аналогична методике решения задач на прямую в плоскости. Это связано с тем, что различные уравнения плоскости в пространстве подобны уравнениям прямой на плоскости.

Приведем уравнения плоскости в пространстве:

– общее уравнение плоскости

Ах + Ву + Сz + D = 0, (9.1)

где = (А, В, С) – вектор, ортогональный плоскости (вектор нормали);

–уравнение плоскости в отрезках

, (9.2)

где , причем (а, 0, 0), (0, в, 0), (0, 0, с) – координаты точек пересечения плоскости с осями координат;

– уравнение плоскости, проходящей через точку (х₀, у₀, z₀) с вектором нормали = (А, В, С)

А(х - х₀) + В(у - у₀) + С(z - z₀) = 0, (9.3)

– нормальное уравнение плоскости

хcos a + уcos b + zcos g - p = 0, (9.4)

где р – расстояние от плоскости до начала координат, a, b, g – углы между координатными осями и вектором нормалью к плоскости, направленным от начала координат к плоскости;

– уравнение плоскости, проходящей через три точки (х₁, у₁, z₁), (х₂, у₂, z₂),

(х₃, у₃, z₃)

. (9.5)

Приведение общего уравнения плоскости (9.1) к нормальному виду (9.4) осуществляется домножением на множитель:

где знак выбирается из условия mD<0.

Расстояние d от точки (х₀, у₀, z₀) до плоскости (9.1) вычисляется по формуле:

d = (9.6)

Угол между плоскостями А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и

А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 определяется из формулы:

(9.7)

Условие параллельности плоскостей:

А₁/А₂ = В₁/В₂ = С₁/С₂, (9.8)

и условие ортогональности:

А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0. (9.9)

Примеры.

а) Приведем уравнение плоскости 2х + 4у - 5z + 21 = 0 к нормальному виду.

Домножив уравнение на нормирующий множитель

где знак минус взят, так как D>0, получим нормальное уравнение плоскости в виде

б) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 2, 3) и ортогональную вектору (3, 2, 1).

Из уравнения (9.3) и геометрического смысла коэффициентов уравнения сразу имеем 3(х - 1) + 2(у - 2) + (z - 3) = 0 или

3х + 2у + z - 10 = 0.

в) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку (3, 2, -1) и параллельную плоскости 3х - 5у + 2z - 10 = 0.

В силу параллельности плоскостей векторы нормали у обеих плоскостей можно взять равными, т.е. вектор (3, -5, 2) является вектором нормали нашей плоскости. Тогда из уравнения (9.3) имеем

3(х - 3) - 5(у - 2) + 2(z + 1) = 0 или 3х - 5у + 2z + 3 = 0.

г) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z - 3 = 0.

Для нахождения уравнения заданной плоскости нам необходимо найти вектор нормали этой плоскости. Так как он ортогонален нашей плоскости, то он ортогонален любому вектору, параллельному этой плоскости. Таким образом, вектор нормали ортогонален вектору и вектору нормали плоскости х + у + 2z - 3 = 0, т.е. = (1, 1, 2). Из свойств векторного произведения вытекает, что в качестве вектора нормали нашей плоскости можно взять вектор = ´ ₁.

Итак,

= = (11, -7, -2).

Из (9.3) теперь легко имеем 11(х - 2) - 7(у + 1) - 2(z - 4) = 0 или

11х - 7у - 2z -21 = 0.

д) Найти угол между плоскостью проходящей через точки и плоскостью заданной уравнением

Взяв текущую точку и определив вектора , уравнение плоскости находим по формуле (9.5):

т.е.

По уравнению плоскостей определяем их нормальные векторы: Угол между плоскостями и находим по формуле (9.7):

откуда рад.

9.2. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 2, 0) и В(2, 1, 1), перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.

Задача 2) Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2х - у + 3z - 1 = 0,

х + 2у + z = 0.

Задача 3) Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2х-3у+6z=6 и координатными плоскостями.

Задача 4) Исследовать взаимное расположение данных пар плоскостей. В случае их параллельности найти расстояние между ними, в случае пересечения – угол между ними:

1) -х + 2у - z + 1 = 0, у + 3z - 1 = 0;

2) 2х - у + z - 1 = 0, -4х + 2у - 2z - 1 = 0.

Прямая и плоскость

Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:

. (9.10)

На практике больше применяется каноническое уравнение прямой в пространстве

(9.11)

где (х₁, у₁, z₁) – точка, через которую эта прямая проходит, а = (l, m, n) – вектор, параллельный прямой, называемый направляющим вектором.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (х₁, у₁, z₁) и (х₂, у₂, z₂), имеет вид:

(9.12)

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и