Проверка гипотезы об экспоненциальном распределении

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины Х в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки.) . Требуется проверить гипотезу о том что случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение.

Алгоритм.Для того чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена экспоненциально, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, приняв в качестве «представителя» i-го интервала его середину

(1)

(2)

составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2.Принять в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину:

(3)

3.Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле :

(4)

4.Вычислить теоретические частоты по формуле:

(5)

5.Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k=s-2, где s- число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s-число интервалов, оставшихся после объединения.

3. Оценка по критерию согласия χ²

Критерий согласия χ² (критерий Пиросона) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний. В этом заключается его универсальность.

Использование критерия χ² предусматривает разбиение размаха варьирования выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого из e интервалов. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины.

Интервалы, содержащие менее пяти наблюдений, объединяют с соседними. Однако, если число таких интервалов составляет менее 20 % от их общего количества, допускаются интервалы с частотой n_j ≥ 2.

Статистикой критерия Пирсона служит величина

(6)
где p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x). При вычислении вероятности p_j нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞.

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле (1) и величины с критическим значением χ²_α, Если выполняется неравенство , то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию χ² другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).