Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона

Курсовая работа по теме

«Статистические методы обработки

Экспериментальных данных»

Выполнил: студент Горелов В.С.

группа ДТпп-2-1

Проверил: Климова М.А.

Вариант № 4

Москва - 2012

Построение интервальное и точечное статистические распределения результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот

I - порядковый номер;

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru - интервал разбиения;

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru - середина интервала Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru ;

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru - частота;

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru - относительная частота ( Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru -объем выборки);

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru -плотность относительной частоты (h - шаг разбиения, т.е. длина интервала Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru );

i Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru
0;2 0,186666 0,093333
2;4 0,173333 0,086666
4;6 0,153333 0,076666
6;8 0,146666 0,073333
8;10 0,1 0,05
10;12 0,073333 0,036666
12;14 0,053333 0,026666
14;16 0,04 0,02
16;18 0,033333 0,016666
18;20 0,026666 0,013333
20;22 0,013333 0,006666

n= Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru - объем выборки;

n = Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru =150 ;

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru =0,999996;

h = 2.

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Гистограмма относительных частот

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru (выборочная средняя);

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru (исправленная выборочная дисперсия).

i Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru
958,23
385,385
78,7175
0,495
69,3375
189,4475
302,58
398,535
515,1125
590,49
400,445

n = Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru =150;

å Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru =1028

å Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru =3888,775

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru =1028/150=6,85

s2 =3888,775/149=26,0991

Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины

а) Нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами «а» и « Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru », где Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

б) Показательное (или экспоненциальное) распределение с параметрами Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru и Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru , где Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru , Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

при Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

при Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

в) Равномерное распределение на отрезке [А; В], где Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru при Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

при x<A и x>B

Сравнение построенной гистограммы и графиков плотностей основных распределений приводит к заключению о том, что изучаемая случайная величина имеет показательное распределение.

Построение графика теоретической плотности распределения

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров λ и х0 и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

MX = 1/λ+х0

DX =1/λ2

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX » Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru , DX » s2 , что позволяет найти значения параметров распределения.

По исходным данным была выдвинута гипотеза о показательном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Теперь необходимо вычислить значения теоретической плотности f (x) при Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru (то есть значение в “параметре сдвига”) и при х=хi где хi ˃х0 (то есть значения в серединах интервалов, больших х0). Для этого воспользуемся следующей схемой (ниже xj=x0 или хj=xi , где хi˃x0):

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

значения функции e-uj Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru e-uj Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru
1.742 0,19
-0,049 1,0498 0,1994
0,239 0,7886 0,1498
0,619 0,5407 0,1027
0,999 0,3707 0,0704
1,379 0,2541 0,0482
1,759 0,1742 0,0331
2,139 0,1194 0,0227
2,519 0,0819 0,0155
2,899 0,0561 0,0106
3,279 0,0385 0,0073
3,659 0,0264 0,0050


Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (xi; f(x Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru )) и соединяем их плавной кривой.

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона - student2.ru

Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.

Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо.

Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c2 («хи - квадрат»).

Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.

Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.

Наши рекомендации