Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, приняв в качестве «представителя» i-го интервала его середину , составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3. Найти вероятность попадания X в частичные интервалы (x_i, x_i+1) по формуле

4. Вычислить теоретические частоты:

,

где - объем выборки.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где s – число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s – число интервалов, оставшихся после объединения.

Задача 648. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 1 (во второй строке указаны интервалы времени в часах, в третьей строке – частоты, т.е. количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала).

Таблица 6

№ п/п
	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30

Составим гистограмму.

1. Найдем среднее время работы для всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент):

2. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения:

Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид

3. Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле

4. Найдем теоретические частоты: _, где - вероятность попадания X в i-й интервал.

5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу, причем объединим малочисленные частоты (4+2+1=7) и соответствующие им теоретические частоты (6,30+2,32+0,84=9,46)

Таблица 7

		126,42	6,58	43,2964	0,3425
		46,52	-1,52	2,3104	0,0497
		17,10	-2,10	4,4100	0,2579
		9,46	-2,46	6,0516	0,6397
Σ

Замечание: Для упрощения вычислений в случае объединения малочисленных частот целесообразно объединить и сами интервалы, которым принадлежат малочисленные частоты в один интервал. Так, в рассматриваемой задаче, объединив последние три интервала, получим один интервал (15,30). В этом случае теоретическая частота

совпадает с суммой теоретических частот (9,46).

По таблице критических точек распределения χ², по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы находим критические области χ_кр²(0,05;2)=6,0.

Так как – то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

Задача

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х c эмпирическим распределением выборки объема n=100, приведенным в табл. 8

Номер интервала i	Граница интервала	Частота ni
xi	xi+1
	n=100

Составим гистограмму

Решение

1. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианта x_i^* среднее арифметическое концов интервала: . В итоге получим распределение:

xi*	5,5	10,5	15,5	20,5	25,5	30,5	35,5
ni

Вычислив выкладки по методу произведений найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение , σ^*=7,28.

Для вычисления составим таблицу и вычислим по формулам

Таблица 9

№	Границы	Частота, ni		ni· xi*	ni2	ni2· xi*
xi	xi+1
				5,5
				10,5
				15,5	232,5		3487,5
				20,5
				25,5
				30,5
				35,5	248,5		1739,5
Σ

2. Найдем интервалы учитывая что ; . Для этого составим расчетную таблицу (левый конец первого интервала примем равным -∞, а правый конец последнего ∞).

Таблица 10

i	Границы			Границы интервала
			-	-12,7	-∞	-1,74
			-12,7	-7,7	-1,74	-1,06
			-7,7	-2,7	-1,06	-0,37
			-2,7	2,3	-0,37	0,32
			2,3	7,3	0,32	1,00
			7,3	12,3	1,00	1,69
			12,3	-	1,69	-∞

3. Найдем теоретические вероятности и теоретические частоты

Для этого составим расчетную таблицу №2.

Таблица №11

i	Границы интервала
	-	-1,74	-0,5000	-0,4591	0,0409	4,09
	-1,74	-1,06	-0,4591	-0,3554	0,1037	10,37
Продолжение таблицы 11
	-1,06	-0,37	-0,3554	-0,1443	0,2111	21,11
	-0,37	0,32	-0,1443	0,1255	0,2698	26,98
	0,32	1,00	0,1255	0,3413	0,2158	21,58
	1,00	1,69	0,3413	0,4545	0,1132	11,32
	1,69	-	0,4545	0,5000	0,0455	4,55
Σ

4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерии Пирсона:

а) Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу №3.

Таблица №12

i
		4,09	1,91	3,6481	0,8920		8,8019
		10,37	-2,37	5,6169	0,5416		6,1716
		21,11	-6,11	37,3321	1,7684		10,6584
		26,98	13,02	169,5204	6,2833		59,3052
		21,58	-5,58	31,1364	1,4428		11,8628
		11,32	-3,32	11,0224	0,9737		5,6537
		4,55	2,45	6,0025	1,3192		10,7692
Σ							113,22

Столбцы 7 и 8 служат для контроля вычислений по формуле

Контроль: Вычисления произведены правильно.

5) По таблице критических точек распределения x² по уравнению значимости и числу степеней свободы (s-число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области .

Так как 13,33>9,5 ( > ) – отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности . Данные наблюдений не согласуются с гипотезой.