Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона
Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:
Статистика имеет распределение с V = k – r – 1 степенями свободы, где k – число интервалов эмпирического распределения, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно:
V=k –3
В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:
N ≥ 50 ≥ 5 где i = 1,2,3…
Из результатов вычислений, приведенных в таблице 1.5.1, следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах < 5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами < 5 до тех пор, пока для каждой новой группы будет выполняться условие ≥ 5.
При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V=k–3 в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.
Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 5.2 приведены соответственно в таблице 6.1.
Результаты вычислений из таблицы 6.1 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.
Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х выполняется в следующей последовательности:
1. Задаются уровнем значимости а =0,05 или одним из следующих значений: а1 = 0,01; а2 = 0,1; а3 = 0,005.
2. Вычисляют наблюдаемые значения критерия, используя экспериментальные и теоретические частоты из таблицы 6.1.
3. Для выборочного уровня значимости а = 0,05 по таблице распределения находят критические значения при числе степеней свободы V= k–3, где k – число групп эмпирического распределения.
4. Сравниваем фактически наблюдаемое с критическим , найденным по таблице, и принимаем решение:
· если > , то выдвинутая гипотезы о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.
· Если < , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).
Таблица 6.1
Результаты объединения интервалов и теоретических частот
[6,1775; 9,1775) | 0,138 | 8,28 | 0,5184 | 0,0626 | |
[9,1775; 10,6775) | 0,213 | 12,78 | 0,6084 | 0,0476 | |
[10,6775; 12,1775) | 0,273 | 16,38 | 0,3844 | 0,0235 | |
[12,1775; 13,6775) | 0,2175 | 13,05 | 0,9025 | 0,0692 | |
[13,6775; 18,1775) | 0,152 | 9,12 | 1,2544 | 0,1375 | |
Σ | 0,9935 | 59,61 | 0,3404 |
При выбранном уровне значимости а = 0,05 и числе групп k = 5, число степеней свободы V = 2.
По таблице для а = 0,05 и V = 2 находим = 5,99147.
В результате получаем:
Для = 0,3404, найденного по результатам вычислений приведенных в таблице 6.1, имеем:
= 0,3404< = 5,99147
Из этого следует, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х.