Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru

Статистика Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru имеет распределение с V = k – r – 1 степенями свободы, где k – число интервалов эмпирического распределения, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно:

V=k –3

В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:

N ≥ 50 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru ≥ 5 где i = 1,2,3…

Из результатов вычислений, приведенных в таблице 1.5.1, следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru < 5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru < 5 до тех пор, пока для каждой новой группы будет выполняться условие Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru ≥ 5.

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V=k–3 в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 5.2 приведены соответственно в таблице 6.1.

Результаты вычислений из таблицы 6.1 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х выполняется в следующей последовательности:

1. Задаются уровнем значимости а =0,05 или одним из следующих значений: а1 = 0,01; а2 = 0,1; а3 = 0,005.

2. Вычисляют наблюдаемые значения критерия, используя экспериментальные и теоретические частоты из таблицы 6.1.

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru

3. Для выборочного уровня значимости а = 0,05 по таблице распределения находят критические значения Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru при числе степеней свободы V= k–3, где k – число групп эмпирического распределения.

4. Сравниваем фактически наблюдаемое Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru с критическим Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru , найденным по таблице, и принимаем решение:

· если Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru > Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru , то выдвинутая гипотезы о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.

· Если Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru < Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

Таблица 6.1

Результаты объединения интервалов и теоретических частот

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru
[6,1775; 9,1775) 0,138 8,28 0,5184 0,0626
[9,1775; 10,6775) 0,213 12,78 0,6084 0,0476
[10,6775; 12,1775) 0,273 16,38 0,3844 0,0235
[12,1775; 13,6775) 0,2175 13,05 0,9025 0,0692
[13,6775; 18,1775) 0,152 9,12 1,2544 0,1375
Σ 0,9935 59,61   0,3404

При выбранном уровне значимости а = 0,05 и числе групп k = 5, число степеней свободы V = 2.

По таблице для а = 0,05 и V = 2 находим Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru = 5,99147.

В результате получаем:

Для Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru = 0,3404, найденного по результатам вычислений приведенных в таблице 6.1, имеем:

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru = 0,3404< Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона - student2.ru = 5,99147

Из этого следует, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х.

Наши рекомендации