Преобразование базиса и координат

Пусть в E_n задана {e_i} и {eⁱ} –пара взаимных базисов, а {e_i¢} и {e^i¢} некоторая другая пара взаимных базисов. Запишем формулы преобразования базисных векторов:

1°. Переход e_i « e_i¢: e_i¢ = e_i; e_i = e_i¢. Здесь – матрица перехода от e_i к e_i¢; – матрица перехода e_i¢ от к e_i; т.е.матрицы и взаимно-обратны: = .

2°.Переход eⁱ « e^i¢: e^i¢ = eⁱ; eⁱ = e^i¢. Здесь – матрица перехода eⁱ от к e^i¢; – матрица перехода от eⁱ к e^i¢; т.е.матрицы и взаимно-обратны.

T°. = и (следовательно = ).

◀ .Положим k = i, k¢ = i¢ Þ , т.е. матрицы и совпадают ▶

Примечание: Правило нахождения матрицы

= .

Итак: – формулы преобразования базисных векторов. Здесь матрица перехода от базиса {e_i} к базису {e_i¢}.

Таким образом для перехода от базиса {e_i, eⁱ} к базису {e_i¢, e^i¢} достаточно знать лишь матрицу перехода от базиса {e_i} к базису {e_i¢}.

Задача. Имеется две пары взаимных базисов {e₁, e₂, e₃, e¹, e², e³} и {e₁, e₂, e₃, e^1¢, e^2¢, e^3¢}. Записать формулы для преобразования при переходе от одного базиса к другому и найти соответствующие матрицы перехода.

◀ Формулы преобразования базисных векторов:

1) , – матрица перехода от e_i к e_i¢; i¢ – строки, i – столбцы(строки слева) .

2) , – матрица перехода от e_i¢ к e_i; i – строки, i¢ – столбцы (строки слева) ,

при этом В₂ = (В₁)^–1.

3) , – матрица перехода от eⁱ к e^i¢; i¢– строки, i – столбцы (строки слева) ,

при этом В₃ = (В₁₂)^Т.

4) , – матрица перехода от e^i¢к eⁱ; i – строки, i¢ – столбца (строки слева) ,

при этом В₄ = (В₁)^Т.

5) Элементы матрицы В₁ = ( ) находят так ▶

Пример: Пусть е₁(1, 1, 0) е_1¢(1, 0, 0)

е₂(1, 0, 1) е_2¢(–1, 1, 0)

е₃(0, 1, 1) е_3¢(0, –1, 1)

е¹(1/2, 1/2, –1/2) « е^1¢(1, 1, 1) .

е²(1/2, –1/2, 1/2) е^2¢(0, 1, 1)

е³(–1/2, 1/2, 1/2) е^3¢(0, 0, 1)

Строим матрицу . Имеем ;

. Чтобы проверить формулу 1) мы должны матрицу В₁ умножить на матрицу у которой в строках стоят e_i – получим матрицу у которой в строках e_i¢, аналогично проверяются формулы 2), 3), 4).

1) ;

2) ;

3) ;

4) ▶

Информация к размышлению:

Та же задача: В базисе, в котором заданы координаты всех векторов, построить матрицу перехода от базиса {e_i} к базису {e_i¢} (а также от базиса {eⁱ} к базису {e^i¢}).

◀ а) пусть P_S®e – матрица перехода из стандартного базиса в базис {е_i}, т.е. для построения матрицы P_S®e координаты векторов e_i пишутся в столбцы;

б) P_е®S = (P_S®e)^–1;

в) P_S®e¢ – матрица перехода из стандартного базиса в базис {e_i¢} ;

г) P_е®e¢ = (P_S®e¢)(P_S®e)^–1 ▶

Примеры:

1°. е₁(1, 1, 0) е_1¢(1, 0, 0)

е₂(1, 0, 1) е_2¢(–1, 1, 0)

е₃(0, 1, 1) е_3¢(0, –1, 1) .

Тогда . Получаем .

При этом . И при этом: если обозначить Р₁ = P_е®e¢, Р₂ = P_е¢®e, то: Р₁e₁ = e_1¢; Р₁e₂ = e_2¢; Р₁e₃ = e_3¢; Р₂e_1¢ = e₁; Р₂e_2¢ = e₂; Р₂e_3¢ = e₃.

2°. е¹(1/2, 1/2, –1/2) е^1¢(1, 1, 1)

е²(1/2, –1/2, 1/2) е^2¢(0, 1, 1)

е³(–1/2, 1/2, 1/2) е^3¢(0, 0, 1) .

Построение: ;

и кроме того: . Если обозначить P^е®e¢=Р₃, P^е¢®e =Р₄, то Р₃e¹ = e^1¢; Р₃e² = e^2¢; Р₃e³ = e^3¢; Р₄e^1¢ = e¹; Р₄e^2¢ = e²; Р₄e^3¢ = e³. Для Р₁, Р₂, Р₃, Р₄ справедливы те же соотношения, что и для В₁, В₂, В₃, В₄:

В₁; В₂ = ; В₃ = ; В₄ = ;

Р₁; Р₂ = ; Р₃ = ; Р₄ = .

Вопрос: Почему же В₁ и Р₁ (а также остальные) матрицы различны? Правда, они симметричны относительно второй большой диагонали?

Попробуйте ответить на этот вопрос прежде чем вы прочитаете последующие две строчки.

Ответ: Матрицы и матрицы Р₁ это одна и та же матрица перехода но Р₁ в стандартном базисе, а в базисе {e_i}.

Пусть xÎE_n.Пусть в базисе {e_i¢, e^i¢} x = x_i¢eⁱ т.е. x_i¢ ковариантные координаты вектора x.

x_i¢ = (x,e_i¢) = (x,e_i) = x_i, т.е. x_i¢ = x_i.

При переходе к новому базису ковариантные координаты вектора x преобразуются с помощью матрицы перехода от базиса {e_i} к базису {e^i¢} (т.е. так же как координаты базисных векторов). Этим и обусловлено название – ковариантные (согласованные) .

Кроме того : x^i¢ = (x,e^i¢) = (x,eⁱ) = xⁱ.

При переходе к новому базису контравариантные координаты вектора x преобразуются с помощью матрицы перехода от базиса нового к старому. Это несогласование преобразований и обусловило название контравариантные (несогласованные) координаты.

Задача. Вектор х(5, 2, 1) в базисе {e₁(1, 1, 0), e₂(0, 1, 1), e₃(0, 1, 1), e¹(1/2, 1/2, 1/2), e²(1/2, –1/2, 1/2), e³(–1/2, 1/2, 1/2)} имеет ковариантные координаты (7, 6, 3) и контравариантные координаты (3, 2, –1). Это было установлено при решении задач в предыдущем параграфе . Найти ковариантные и контравариантные координаты этого же вектора в базисе {e_1¢(1, 0, 0), e_2¢(–1, 1, 0), e_3¢(0, –1, 1), e^1¢(1, 1, 1), e^2¢(0, 1, 1), e^3¢(0, 0, 1)}.

◀ Как известно, ковариантные и контравариантные координаты вектора х преобразуются по-разному: с помощью формул: x_i¢ = x_i и x^i¢ = x_i, тогда x_i¢ = x_i Þ , т.е. х¢ = 5е^1¢ – 3е^2¢ – е³¢ (это х(5, 2, 1)). Итак (7, 6, 3) ® (5, –3, –1) для ковариантных координат.

Далее: , т.е. х¢ = 8е_1¢ + 3е_2¢ + е_3¢ (это х(5, 2, 1)). Итак (3, 2, –1) ® (8, 3, 1) для контравариантных координат.

Здесь матрицы перехода взяты из предыдущей задачи. ▶

Понятие тензора

Пусть V – вещественное (не обязательно евклидово) линейное пространство (dimV = n).

Def:Тензором типа (p, q) , (p раз ковариантным, q раз контравариантным) называется геометрический объект, который:

1)в любом базисе {e_i} линейного пространства V_n определяется n^p+q координатами (индексы принимают значения 1, 2, …, n каждый);

2)обладает свойством, что его координаты в базисе {e_i¢} связаны с координатами в базисе {e_i} соотношениями:

; (*)

и здесь элементы матрицы перехода от старого базиса к новому (e_i ® e_i¢), а – элементы матрицы обратного перехода.

Число r = p + q называется рангом тензора.

Формула (*) называется формулой преобразования тензора при изменении базиса.

Замечание:Индексы i₁i₂ … i_p называются ковариантными, а k₁k₂ … k_q – контравариантными.

Отметим:Ковариантные и контравариантные координаты вектора преобразуется по формуле (*) (p = 1, q = 0 для ковариантных координат, p = 0, q = 1 для контравариантных координат).

Поэтому вектор представляет собой тензор первого ранга (1 раз ковариантный, либо 1 раз контравариантный – в зависимости от выбора типа координат этого вектора).

Отметим: Скаляр – тензор нулевого ранга – имеет одну координату, причем не имеющую индексов и не изменяющуюся при изменении системы координат.

Замечание: Нетрудно убедиться в том, что последовательный переход от {e_i} к {e_i¢}, а затем от {e_i¢} к { }, приводит к тем же результатам, что непосредственный переход от {e_i} к { } , т.е. определение тензора корректно.

Замечание:Любая системаn^p+q чисел может в данном базисе рассматриваться как координаты некоторого тензора А типа (p, q).

Примеры тензоров

1°. Нуль-тензор – это тензор все координаты которого, в некотором (а, следовательно, в

любом базисе) равны нулю.

2°. Символ Кронекера. Тензор А типа (1, 1) в базисе {e_i} имеет координаты .

® = =

Т.е. действительно можно рассматривать как тензор типа (1, 1).

3°.Пусть А(x, y) – билинейная форма. Напомним, что в базисе {e_i}: A(x, y) = A(xⁱe_i, y^je_j) =

= A(e_i, e_j)xⁱy^j = a_ijxⁱy^j. Здесь a_ij – элементы матрицы билинейной формы А в базисе {e_i}.

Рассмотрим, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к базису {e_i¢}.

a_ij = A(e_i¢, e_j¢) = = A(e_i, e_j) = a_ij.

Равенство a_ij = a_ij, показывает, что матрица билинейной формы представляет собой тензор А типа (2, 0) ранга 2.

Пусть А линейный оператор: y=Ax. В некотором базисе : =А( )= А =

Т.е. = , – элементы матрицы линейного оператора в базисе {e_i¢}.

Рассмотрим базис { }.

= . Воспользуемся тем, что = ; = .

= | умножим обе части на и просуммируем по j.

= Þ =( ) Þ = .

Тогда =

Последнее равенство показывает, что матрица линейного оператора может рассматриваться как тензор А типа (1,1) ранга 2.