Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -мерном линейном пространстве Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru выбран базис Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru из Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Его координатный столбец в старом базисе обозначим Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , а в новом -- Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Замечание 18.1 Матрица перехода всегда невырождена, то есть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Предложение 18.5 Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (18.1)


где справа стоит произведение матрицы перехода Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru на матрицу-столбец.

Доказательство. Так как Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- координатный столбец вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в новом базисе, то

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Заменив векторы Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru их разложениями по старому базису, получим

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Здесь мы получили разложение вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru по старому базису, причем координата вектора с номером Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru равна Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Элемент с номером Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru столбца Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru будет иметь такой же вид. Следовательно, формула (18.1) доказана.

Пример 18.4 Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , то есть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Возьмем вектор Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Найдем его координаты в новом базисе.

Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- координатный столбец вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в новом базисе. Тогда

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (18.2)


откуда

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Найдем матрицу Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru по формуле (14.14). Находим определитель

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Находим алгебраические дополнения

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Следовательно,

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Находим координаты вектора

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Таким образом, новые координаты вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru : Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Вперед: Матрица линейного преобразования Наверх: Линейные преобразования Назад: Линейные преобразования

Определение и примеры

Рассмотрим линейное пространство Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и преобразование Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru из Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru соответствует вектор Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru из того же пространства. Вектор Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называется образом вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и обозначается Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , а вектор Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называется прообразом вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Определение 19.1 Преобразование Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru линейного пространства Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называется линейным, если для любых векторов Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и любого числа Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru выполнены равенства

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (19.1)


то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.

Замечание 19.1 В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.

Линейное преобразование пространства Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называют также линейным отображением из Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru или линейным оператором из Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.

Пример 19.1 Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1).

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Рис.19.1.Преобразование растяжения

Проверим выполнение равенств (19.1)

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Равенства (19.1) выполнены, следовательно, преобразование Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru является линейным.

Пример 19.2 Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- двумерное векторное пространство, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- поворот вектора по часовой стрелке на угол Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (рис. 19.2).

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Рис.19.2.Преобразование поворота

Покажем, что это -- линейное преобразование.

Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- два вектора. Тогда Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- это диагональ параллелограмма со стронами Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (рис. 19.3).

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Рис.19.3.Образ суммы векторов

Если параллелограмм повернуть как единое целое на угол Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , то его стороны станут векторами Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , диагональ будет вектором Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . С другой стороны, диагональ тоже повернулась на угол Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и поэтому является вектором Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Следовательно, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , первое из условий (19.1) выполнено.

Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- число. Из рисунка 19.4 очевидно, что Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Рис.19.4.Образ вектора, умноженного на число

Следовательно, преобразование Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- линейное.

Упражнение19.1.1. Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- двумерное векторное пространство, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- преобразование, переводящее каждый вектор Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в вектор Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru симметричный исходному относительно прямой Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (рис. 19.5). Другими словами, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru является зеркальным отражением вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в прямой Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Рис.19.5.Преобразование отражения

Докажите, что Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru является линейным преобразованием.

Упражнение19.1.2. Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- двумерное векторное пространство, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- преобразование, переводящее каждый вектор Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в его проекцию на прямую Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (рис. 19.6).

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Рис.19.6.Преобразование проектирования

Докажите, что Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru является линейным преобразованием.

Пример 19.3 Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- пространство всех многочленов, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- преобразование, которое переводит вектор из Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , то есть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Тогда

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Например, если Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , то Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Покажем, что преобразование Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru является линейным.

Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- число. Тогда в силу свойства линейности производной получим

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Аналогично,

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Следовательно, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- линейное преобразование.

Пример 19.4 Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Тогда у любого вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru есть его координатный столбец Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- квадратная матрица порядка Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Определим преобразование Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru следующим образом: Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru является вектором, координатный столбец которого равен Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (справа стоит произведение матрицы Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru на столбец Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru ). Покажем, что преобразование Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- линейное.

Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru имеют координатные столбцы Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru соответственно, а их образы Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- координатные столбцы Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , и Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Тогда

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Следовательно, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru равен Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , координатный столбец образа вектора

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

то есть равен числу Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , умноженному на координатный столбец образа вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Поэтому Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Тем самым мы доказали, что преобразование Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru является линейным.

Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Легко проверяется, что для любого линейного преобразования Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru образ нуля равен нулю, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Действительно, в силу второго из равенств (19.1)

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru


Вперед: Матрица линейного преобразования Наверх: Линейные преобразования Назад: Линейные преобразования


Вперед: Координаты векторов Наверх: Линейные пространства Назад: Определение и примеры

Координаты векторов

Определение 18.4 Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- базис. Тогда произвольный вектор Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru из Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru представим в виде линейной комбинации векторов базиса:

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Числа Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называются координатами вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в базисе Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Столбец Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru из координат вектора называется координатным столбцом вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Предложение 18.3 Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- базис, в котором у вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru есть два различных набора координат:

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Тогда

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

то есть

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.

Предложение 18.4 Пусть в Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -мерном пространстве Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru задан базис Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.

Доказательство. Пусть векторы Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru имеют координатные столбцы Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru соответственно. Отсюда следует, что

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Поэтому

Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru


Это равенство означает, что координатный столбец вектора Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru имеет вид Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.

Из последнего предложения следует, что как только в Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru -мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в вещественном случае, а в комплексном -- копией Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .


Вперед: Изменение координат вектора при изменении базиса Наверх: Линейные пространства Назад: Базис и размерность пространства


Вперед: Евклидово пространство Наверх: Линейные пространства Назад: Координаты векторов

Наши рекомендации