Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в линейном пространстве Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru заданы два базиса:

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (3.41)

и

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . (3.42)

Принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, например, Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru – пятый вектор второго базиса. Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. Все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой t с двумя индексами: нижним индексом обозначим номер разлагаемого вектора, а верхним – номер координаты. Таким образом,

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (3.43)

Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3.43) можно сокращенно записать одним равенством:

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (3.44)

(оцените красоту записи!)

Введем следующие обозначения:

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

(подчеркиваем, что это матрицы-строки)

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Тогда Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru =[располагаем по правилу цепочки] = Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , откуда вытекает, что

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . (3.45)

Матрицей перехода от базиса (3.41) к базису (3.42) называется матрица Т = Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3.43) или (3.44), либо одному матричному равенству (3.45).

Изменение координат вектора при изменении базиса:

Пусть в линейном пространстве Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru по-прежнему заданы два базиса (3.46) и (3.47). Выберем в Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru произвольный вектор Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Его можно разложить как по одному базису, так и по другому: Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Тогда

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . (3.49)

Равенство (3.49) – это разложение вектора Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru по базису (3.46), и поэтому в силу единственности координат вектора в данном базисе получаем

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . (3.50)

Обозначим Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru координатные столбцы вектора Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в базисах (3.46) и (3.47) соответственно ( Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru ). Тогда (3.50) равносильно равенству Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , из которого вытекает, что

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . (3.51)

Формулы (3.50) и (3.51) показывают, как изменяются координаты вектора при изменении базиса. Равенство (3.51) можно доказать и так:

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Таким образом, Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru – координатный столбец вектора Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru в базисе (3.46), поэтому он совпадает с Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Вопрос 15

Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение

Понятие отображения

Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru ставится в соответствие вполне определенный элемент Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (рис. 4.1).

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Рис. 4.1

Если Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , то Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называется образом элемента Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru ; Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru – прообразом элемента Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru при отображении f.

Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru – отображение Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.

Отображение Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Таким образом, Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Отображение Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называется взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:

1. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru такой, что Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

2. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

или одному, эквивалентному им, третьему условию:

3. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru такой, что Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.

Отображения Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называются равными, если Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Пусть заданы отображения Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Произведением (или композицией) отображений f и g называется отображение Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru такое, что Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (рис. 4.2).

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Рис. 4.2

Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.

Примером произведения отображений является сложная функция.

Лемма 4.1. Произведение отображений ассоциативно, т. е. если заданы отображения Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , то

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

uДля доказательства равенства отображений Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru нужно показать, что Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .

Итак, выберем произвольное Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru . Тогда

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru ; (4.1)

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (4.2)

Сравнивая (4.1) и (4.2), видим, что Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru : Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и поэтому, Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru .t

Отображение Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru называется обратным к отображению Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru , если Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru и Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru (рис. 4.3).

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru
Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса - student2.ru

Рис. 4.3

Вопрос 16

Наши рекомендации