Преобразование координат точки и вектора

Рассмотрим какую-либо точку пространства Преобразование координат точки и вектора - student2.ru с координатами в старой системе: Преобразование координат точки и вектора - student2.ru . Разложим радиус-вектор этой точки Преобразование координат точки и вектора - student2.ru по старому базису:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (24)

Перейдем в новую систему координат. Точка Преобразование координат точки и вектора - student2.ru и ее радиус-вектор будут иметь уже новые координаты Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , и разложение Преобразование координат точки и вектора - student2.ru по новому базису будет выглядеть так:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (25)

Подставим в формулу (24) формулы (20), выражающие старые базисные векторы через новые:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru

Пользуясь правилом Эйнштейна, запишем это короче:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (26)

Сравнивая (26) с (25) и принимая во внимание, что разложение по базису единственно, получим, что координаты точки Преобразование координат точки и вектора - student2.ru в новой системе координат равны:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , Преобразование координат точки и вектора - student2.ru .

Эти формулы можно объединить в одну и тогда получим:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (27)

По этому правилу преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от старой системы координат к новой. Выведем теперь формулы обратного преобразования. Подставим в формулу (25) формулу (22а). При этом сразу будем пользоваться правилом суммирования:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (28)

Сравним (28) с (24). При этом, поскольку в (24) индекс Преобразование координат точки и вектора - student2.ru является немым, заменим его буквой Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , а в (28) немой индекс Преобразование координат точки и вектора - student2.ru заменим буквой Преобразование координат точки и вектора - student2.ru . Получаем:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (29)

По этой формуле преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от новой системы координат к старой.

По формулам (27) и (29) преобразуются координаты радиус-вектора. Поскольку все векторы мы считаем свободными, то по этим же формулам преобразуются координаты (компоненты) любого вектора. Укажем правило для запоминания суммирования в формулах преобразования (27) и (29). Первая формула (27) выражает новые координаты через старые, суммирование производится по старым координатам, а это второй индекс у элементов матрицы Преобразование координат точки и вектора - student2.ru . Следовательно, суммирование производится по второму индексу. Вторая формула (29) выражает старые координаты через новые. Суммирование производится по новым координатам, а это соответствует первому индексу у элементов Преобразование координат точки и вектора - student2.ru . Следовательно, суммирование идет по первому индексу.

Символ Кронекера.

Перепишем формулы (27) и (29):

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (30)

и подставим вторую в первую:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (31)

Распишем это подробно. Здесь двойное суммирование: по индексу Преобразование координат точки и вектора - student2.ru и по индексу Преобразование координат точки и вектора - student2.ru :

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru Отсюда:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru

Следовательно:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (32)

Первые три формулы можно сокращенно записать так:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru .

Следующие три формулы перепишем:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru

Объединяя эти две группы формул, можно записать:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (33)

Введем так называемый символ Кронекера:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (34)

С его помощью формулу (33) запишем в виде:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (35)

Вернемся к формулам (30) и подставим теперь первую во вторую:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru

Если это выражение расписать подробно, как (32), то в итоге получим:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (36)

Формулы (35) и (36) есть не что иное, как выражение свойств б) и в) ортогональной матрицы преобразования системы координат, сформулированные в §3.

Переставим местами в формуле (35) индексы Преобразование координат точки и вектора - student2.ru и Преобразование координат точки и вектора - student2.ru :

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , (37)

или Преобразование координат точки и вектора - student2.ru (38)

т.е. символ Кронекера симметричен.

Символ Кронекера обладает замечательным, так называемым фильтрующимсвойством, на котором и основано широкое применение этого символа. Рассмотрим выражение: Преобразование координат точки и вектора - student2.ru . Если Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , то правая часть будет равна Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , если Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , то Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , если Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , то Преобразование координат точки и вектора - student2.ru , т.е.:

Преобразование координат точки и вектора - student2.ru . (39)

Это соотношение означает, что из всех компонент вектора Преобразование координат точки и вектора - student2.ru символ Кронекера «отфильтровывает» одну, а именно Преобразование координат точки и вектора - student2.ru .

Наши рекомендации