Ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится

ряд А) расходится, ряд В) расходится

ряд А) сходится, ряд В) сходится

ряд А) сходится, ряд В) расходится

Решение:
Ряд ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru расходится, так как
Для исследования сходимости знакочередующегося ряда применим признак сходимости Лейбница. Тогда
1) вычислим предел ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru
2) для любого натурального справедливо то есть последовательность монотонно убывает.
Следовательно, ряд ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru сходится.

6. Сумма числового ряда ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru равна …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

Решение:
Представим общий член этого ряда в виде суммы простейших дробей
ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru и вычислим n-ую частичную сумму ряда:

Тогда

Тема 19: Область сходимости степенного ряда
1. Область сходимости степенного ряда ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru имеет вид …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

Решение:
Вычислим предварительно радиус сходимости этого ряда по формуле ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru где Тогда Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид или
Для того чтобы найти область сходимости степенного ряда, исследуем сходимость ряда в граничных точках.
В точке ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru ряд примет вид Данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда:
ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru
В точке получаем знакочередующийся ряд для которого то есть ряд расходится.
Таким образом, область сходимости ряда имеет вид ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

2. Радиус сходимости степенного ряда ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru равен …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

Решение:
Радиус сходимости этого ряда можно найти по формуле ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru где
Тогда

3. Радиус сходимости степенного ряда ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru равен …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

4. Интервал сходимости степенного ряда ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru имеет вид …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

Решение:
Вычислим предварительно предел ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru где а именно
Тогда и интервал сходимости ряда имеет вид или

5. Для степенного ряда ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru вычислен предел Тогда интервал сходимости данного ряда имеет вид …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

Решение:
Интервал сходимости данного ряда определяется как ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru где Тогда интервал сходимости данного ряда определяется как или

6. Интервал сходимости степенного ряда ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru имеет вид …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

7. Радиус сходимости степенного ряда ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru равен …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

Тема 20: Ряд Тейлора (Маклорена)
1. Если ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

Решение:
Так как коэффициенты данного ряда Тейлора вычисляются по формуле ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru то вычислим последовательно производные:

Тогда

2. Разложение в ряд по степеням ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru функции имеет вид …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

3. Если ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …

– 8

– 16

– 4

4. Если ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

5. Ряд Маклорена для функции ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru имеет вид …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

Решение:
Так как ряд Маклорена для функции ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru имеет вид
то

при

6. Если ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru то коэффициент разложения данной функции в ряд Маклорена равен …

– 10

– 6

Решение:
Так как разложение в ряд Маклорена функции ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru имеет вид
то или, учитывая, что получаем

7. Если ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru - правильно

ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru

Тема 21: Типы дифференциальных уравнений
1. Уравнение ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru является …

Уравнением Бернулли

линейным дифференциальным уравнением первого порядка

дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

однородным относительно ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru и дифференциальным уравнением первого порядка

Решение:
Уравнение ряд а) расходится, ряд в) сходится. ряд а) расходится, ряд в) расходится - student2.ru может быть сведено к уравнению вида где В данном случае Следовательно, данное уравнение является уравнением Бернулли.