Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

РЯДЫ

Основные понятия

Пусть Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ‑ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , построенную следующим образом:

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ;

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ;

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ; Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ;

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru

Последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru удобно записывать в виде Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Такую последовательность называют числовым рядом. Числа Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru называют членами или элементами ряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданного Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru можно вычислить Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru -й член ряда.

Пример. Ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru имеет Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru -й член Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Поэтому Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru

т.е. Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Рассмотрим ряд:

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru (1)

Сумму Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru называют Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru -й частной суммой ряда (1). Если последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru частных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называют сходящимся, а число Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru называют суммой ряда. Если же последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru не имеет конечного предела, то ряд (1) называют расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для него Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , что представляет собой сумму первых Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru членов геометрической прогрессии.

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ,

то Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru

и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru не существует.

Таким образом, ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится и расходится при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Этот ряд называется геометрическим.

Пусть ряд (1) сходится и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ‑ его сумма. Поскольку,

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , (2)

то при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru получаем Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то:

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . (3)

Если условие (3) не выполнено, то ряд расходится.

Пример. Ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru расходится, т.к. Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходиться. Покажем это на примере гармонического ряда Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для этого ряда Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , т.е. условие (3) выполнено. В то же время:

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ,

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Поэтому Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Предположим, что гармонический ряд сходится и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ‑ его сумма, т.е. Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Поскольку Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru получаем Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ‑ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.

Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , называемый остатком ряда (1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка.

Положительные ряды

Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными. У такого ряда последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru его частных сумм является возрастающей и, поэтому для его сходимости достаточно, чтобы последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru была ограниченной. Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда может быть сделан на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого (сходимость или расходимость) известно. Соответствующие теоремы называют признаками сравнения. Приведем некоторые из них.

Будем рассматривать два положительных ряда:

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru (4)

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru (5)

1.Пусть существует номер Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru такой, что Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Если ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если ряд (4) расходится, то расходится и ряд (5).

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Сравним этот ряд с гармоническим рядом Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Так как Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru расходится.

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Поскольку Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится.

2.Пусть существует конечный или бесконечный предел Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (4).

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Сравним его с гармоническим рядом. Поскольку Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru расходится.

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Так как Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится.

Для положительных рядов доказаны признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости или расходимости ряда, изучая поведение при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru его Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru -го члена.

v Признак Даламбера. Пусть существует предел Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится;

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru расходится.

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для этого ряда Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для этого ряда Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . По признаку Даламбера ряд расходится.

v Признак Коши. Пусть существует предел Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится;

· Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru расходится.

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для этого ряда: Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . По признаку Коши ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для этого ряда: Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Значит, ряд расходится.

Заметим, то признаки Даламбера и Коши не дают ответа, когда Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru или Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . В этом случае можно исследовать ряд с помощью других признаков.

v Интегральный признак. Пусть Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ‑ положительная неубывающая функция, такая что Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Если последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится, то сходится и ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Если последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru расходится, то расходится и исходный ряд.

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru (этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом).

Функция Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru убывающая, положительная и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Так как Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru расходится, значит, расходится и ряд. Впрочем, при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru исследуемый ряд – гармонический, и его расходимость была доказана ранее.

Если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

При Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ; при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Таким образом, последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru и расходится при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Функция

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ;

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Значит, ряд расходится.

Если в признаке сравнения 2 в качестве эталонного использовать обобщенный гармонический ряд, то можно получить так называемый степенной признак сходимости положительных рядов. Этот признак дает ответ на вопрос о сходимости ряда в некоторых случаях, когда признаки Коши и Даламбера ответа не дают.

v Степенной признак. Пусть Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , где Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Тогда при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ряд расходится. При Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ряд сходится (условие Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru равносильно тому, что Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Говорят, что Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru эквивалентен Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ).

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для этого ряда

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ,

значит, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Можно убедиться, что и признак Коши не приведет к желаемому результату.

В то же время, Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru эквивалентен Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , так как Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Значит, в этом случае Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru и, следовательно, ряд сходится по степенному признаку.

Пример. Ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru имеет Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru -й член Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , который эквивалентен Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Значит, ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряд вида:

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru (6)

называют знакочередующимся.

v Признак Лейбница. Если последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru стремится к нулю монотонно, то ряд (6) сходится.

Пример. Рассмотрим ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для него Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , причем, Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , т.е. последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru монотонно убывает и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Поэтому ряд сходится.

Для исследования монотонности последовательности Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru удобно ввести некоторую вспомогательную (дифференцируемую) функцию Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru такую, что Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , и исследовать функцию Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru на монотонность, воспользовавшись критерием монотонности дифференцируемой функции.

Пример. Для ряда Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для исследования монотонности последовательности Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru рассмотрим вспомогательную функцию Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Заметим, что Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Поскольку Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Для Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru функция Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru убывает. Значит, Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , т.е. Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Следовательно, последовательность Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru убывает и Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . По признаку Лейбница ряд сходится.

Абсолютная сходимость

Рассмотрим произвольный числовой ряд:

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru (7)

(никаких предположений о знаках членов Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru не делаем). Ряд (7) называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . (8)

Пример. Ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru не является абсолютно сходящимся (хотя и сходится), так как ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru расходится.

Пример. Ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится абсолютно, т.к. ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится.

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится (в обычном смысле).

Это означает, что если сходится ряд (8), то сходится и ряд (7). Поскольку ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ‑ положительный, то для его исследования можно использовать любой признак сходимости положительных рядов.

Функциональные ряды

В каждой точке определения функций Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru если принять Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , то функциональный ряд:

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru

преобразуется в числовой ряд:

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru ,

который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Совокупность значений Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Суммой ряда называется функция Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , определенная в каждой точке области сходимости ряда.

По определению предела Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru означает, что

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

В общем случае Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru зависит как от Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , так и от Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru . Интерес представляют ряды, для которых Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru зависит только от Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Последовательность функций Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится равномерно к Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru на множестве Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , если Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Ряд Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится равномерно на множестве X к сумме Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru , если последовательность его частичных сумм Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru сходится равномерно на множестве Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru к функции Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . - student2.ru .

Наши рекомендации