Теорема. Признак коллинеарности векторов

Для того чтобы был коллинеарен ненулевому необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число k, для которого выполнялось бы равенство:

= k× ,

где k– коэффициент пропорциональности.

Векторы называются компланарными, если их можно поместить в одну плоскость путем параллельного переноса.

Сложение векторов

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Разность векторов

=

Вопрос 2. Линейные операции над векторами.

Направляющие косинусы.

Положение вектора в пространстве задают направляющие Cos углов (a, b, j) вектора с осями координат:

Cos a = ; Cos b = ; Cos j = ;

Пусть = ( ); = ( );

1. Сумма (разность) векторов:

= ( ± ( = ( ) + ( + +( = ( ; .

2. Умножение вектора наl:

l· = (l ; l ; l ).

3. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

= · Cosa;

гдеa =Ð( );

≤ a ≤

Свойства:

1. = = – скалярный квадрат.

2. Если , то = 0; т.к. Cos = 0;

3. = ‒ коммутативность

4. l ( = (l ) = (l· – ассоциативность

5. ( ) = + · – дистрибутивность

Выведем формулу скалярного произведения через координаты:

= ( · ( = + + + + + + + + =

= + +

= + +

–формула для нахождения скалярного произведения.

Вопрос 3.

Прямоугольный базис.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

Прямоугольные координаты вектора (точки).

Разложение вектора по базису.

При взаимных перпендикулярных единичных вектора , выходящих из одной точки, образуют прямоугольный базис в пространстве.

Прямые проведенные в направлении базисных векторов образуют прямоугольную декартову систему координат:

ОХ – в направлении ‒ ‒ ось абсцисс;

ОУ – в направлении ‒ ‒ ось ординат;

ОZ – в направлении ‒ ‒ ось аппликат;

‒ орты координаты осей, т.е. ‒ орт оси ОХ и т.д.

= OM – радиус ‒ вектор точки М.

; = 1.

Прямоугольными координатами вектора (точки) называются проекции этого вектора (точки) на оси ординат.

= (x, y, z).

= = + = + + = х + у + z

= х + у + z

‒ разложение вектора по базису

Вопрос 4. Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.

По свойству длинны диагонали прямоугольного треугольника, получим:

² = ² = ² + ² + ²,

т. е.

² = x² + y² + z,

следовательно

= .

Так как вектор можно свободно перемещать в пространстве, то длина произвольного вектора = .

По правилу сложения вектора = ‒ ,

= (x₂ ‒ x₁; y₂ ‒ y₁; z₂ ‒ z₁)

Подставив координаты в формулу длины вектора, получим формулу для нахождения расстояния между точками:

‒ формула расстояния между точками.

Из формулы = cos α найдем

Cos α =

Или

если

= ( = ( ).

ЛЕКЦИЯ № 9