Условия коллинеарности векторов

• Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.
• Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.

3) Условия ортогональности векторов. Два вектора a и b

ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю

a· b = 0

Деление отрезка в заданном отношении

1. Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам

Если , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

21. Прямая линия на плоскости: уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении; уравнение прямой в отрезках

уравнение прямой с угловым коэффициентом:

у=kx+b: k = tgф - угловой коэффициент

уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:

y-y0=k(x-x0)

уравнение прямой в отрезках:

Общее уравнение прямой на плоскости

Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0 , где A2+B2 не равно 0

Каноническое, нормальное, параметричекие уравнения прямой

Нормальное:

Каноническое:

где — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.

Параметрические:

где — производный параметр, — координаты и направляющего вектора прямой

24. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Углом между прямыми в пространстве называют любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами . Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида и то косинус угла между ними можно найти по формуле:

).

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов .

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны:

– условие параллельности прямых.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:

– условие перпендикулярности прямых.

25. Общее уравнение плоскости

можно записать в виде , приняв , получаем общее уравнение плоскости:

26. Уравнения плоскости: проходящей через три точки; уравнение плоскости в отрезках; нормальное уравнение