Векторное произведение векторов. Его свойства и геометрический смысл. Условие коллинеарности двух векторов

17. Смешанное произведение векторов и его свойства. Объем пирамиды. Условие компланарности векторов.

18. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках. Здесь же 27 билет.

общее уравнение прямой

уравнение прямой в отрезках. Прямая отсекает от осей отрезки a и b (с учётом знаков).

19. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Уравнение вида y=kx+b, где к - тангенс угла наклона прямой, а b - свободный член.
Уравнение прямой, проходящей через две точки:

М1(х1,у1) М2(х2,у2)

20.угол между прямыми. Параллельность. Перпендикулярность

21. Формула расстояния от точки до прямой.
формула: d=|AXo+BYo+C|/sqrt(A^2+B^2)
вывод формулы:
1 вариант)
Пусть прямая задана уравнением AX+BY+C=0
Пусть М(Хо;Уо) - основание перпендикуляра опущенного из точки на прямую.
_ ____ _ _____ _
n* M1M=+-|n|*|M1M2|=+-d(n)
_ ____
n* M1M=A(Xo-X1)+B(Yo-Y1)
_
AXo+BYo+C-(AX1+BY1+C)=+-d|n|

т.к. M1(X1;Y1) лежит на прямой AXo+BYo+C=0
то AX1+BY1+C=0

(хер пойми что из лекции)

2 вариант)
Чтобы вывести формулу расстояния от точки M 0 до прямой l,
нужно:
1) привести уравнение прямой к нормальному виду;
2) в нормальное уравнение прямой подставить вместо x и y координаты
точки M 0 ( x0 , y0 ) , а результат взять по модулю.
В координатной форме последняя формула имеет вид
d=|AXo+BYo+C|/sqrt(A^2+B^2)

<бляяя короче те черточки это обозначение вектора.
не глупые поймете

на всякий) n M1M n M1M2 n
n M1M
n
все это векторы> прим. Автора

22.Кривые второго порядка на плоскости. Эллипс, гипербола, их свойства.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида.

Гипербола. В новой системе координат, которую называют также канонической, уравнение гиперболы имеет вид:
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.
Отметим следующие свойства гиперболы:

Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы.

Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Гипербола имеет центр симметрии.

Гипербола пересекается с прямой y = kx при в двух точках. Если то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Элипс.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Рассмотрим свойства эллипса.

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Эллипс имеет центр симметрии.

Эллипс может быть получен сжатием окружности.

23. Парабола и её свойства. Приведение к каноническому виду уравнений кривых второго порядка методом выделения полного квадрата.

Основной принцип приведения уравнения кривой к каноническому виду- выделение полного квадрата, которое заключается в добавлении и вычитании одного и того же числа для получения полного квдратного уравнения, которое можно будет свернуть в скобки. Парабола- кривая, заданная уравнением: у^2=2рх, эксцентритет которой равен единице или:

Парабола - геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

24. Полярная система координат.
Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.
Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.
Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

25. Общее уравнение плоскости в пространстве. Нормальный вектор к плоскости.

Ax+By+Cz+D=0 общее уравнение плоскости

Вектор нормали: N={A,B,C} , причём вектор N перпендикулярен к плоскости.

26. уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки

Пусть даны три точки M0(x0 , y0, z0), M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), которые лежат в одной плоскости. Пусть М (x, y, z) произвольная точка этой плоскости. Тогда векторы M0M, M0M1, M0M2 лежат в одной плоскости и их смешанное произведение равно нулю:
M0M×(M0M1·M0M2) = 0
Расписывая смешанные произведения в координатной форме, получим:

Раскроем определитель по первой строке:

Если ввести обозначения ....... то получим A·(x - x0) + B·(y - y0) + C·(z - z0) = 0, уравнение плоскости.

27.Уравнение плоскости в отрезках [перенесенo в 18 билет].

28. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

формула расстояния от точки до плоскости

Угол между плоскостями равен косинусу угла между векторами нормали к плоскостям и выисляется по формуле:

29.Общее уравнение прямой в пространстве.

Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.
Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями
A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, где коэффициенты A1,B1,C1 и A2,B2,C2 не пропорциональны:

A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки A(x0, y0, z0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l*t + x0
y = m* t + y0
z = n*t + z0
где (x0, y0, z0) - координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} - координаты направляющего вектора прямой.

30. Переход от общих уравнений прямой в пространстве к каноническим. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей

уравнения прямой в пространстве.

Переход к каноническим:

31. условия параллельности и перпендикулярночти прямой и плоскости. точка пересечения прямой и плоскости

32. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости1) угол между прямой и плоскостью

Определение: углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Угол между прямой и плоскостью находят по формуле:

где (А;В;С;) коордтнаты нормального вектора плоскости
(l;m;n;) коордтнаты напрвляющего вектора прямой
2) условие параллельности прямой и плоскости
1-Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
2- Аl + Вm + Сn = 0
3) условие перпендикулярности прямой и плоскости
1- Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
(+ направляющий вектор прямой=лямбда*вектор нормали к плоскости)
2-

33. Множество действительных чисел. Модули чисел и их свойства. Постоянные и переменные величины. Числовые промежутки.

- Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.
Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные.
- Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:
|а| = а
Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:
|а| = - а

На практике используют различные свойства модулей:
|а•b| = |а| • |b|

|а|n = аn , n є Z, n > 0
|а| = | - а|

|а•q| = q•|а| , где q - положительное число
|а|2 = а2
- Переменная величина может меняться в зависимости от условий рассматриваемой задачи; постоянная не может меняться в зависимости от этих условий. Одна и та же величина может быть постоянной для одной задачи и переменной для другой.
- Числовыми промежутками называют (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[а;b] - Отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
(a;b) - Интервал (открытый промежуток)
[a;b] - Полуоткрытый интервал (или полуоткрытый отрезок)
(a;b) - Полуоткрытый интервал (или полуоткрытый отрезок)

34. Функции и их графики. Способы задания функций.
Графиком функции называемся множество всех точек координатной прямой, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Способы задания функции
Функции могут задаваться (описываться) разными способами:

С помощью таблиц, в которых указывается зависимость между значениями агрумента и значениями функции, такой способ подходит для функций, у которых аргумент принимает небольшое количество значений.
С помощью графиков- это наиболее наглядный способ.
С помощью формулы- это наиболее распространенный способ.

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

35. Классификация фенкция, элементарные функции. Элементы поведения функций: монотонность, чётность/нечётность, периодичность, ограниченность.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числаарифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: (рисунок выше).

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функциинепрерывны на своей области определения.

Элементы поведения:

Монотонность –

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).

Чётность/нечётность –

Функция y = f(x) называется четной, если для любого xиз области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x).

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство f(-x) = - f(x).

Периодичность –

функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T)

Ограниченность –

Функция y=f(x), определенная на множестве X, называется ограниченной сверху, если множество её значений ограниченно сверху. Иначе говоря, функция f ограничена сверху, если существует такая постоянная М, что для каждого выполняется неравенство f(x)<=M .

· Функция y=f(x), определенная на множестве Х, называется ограниченной снизу, если множество её значений ограниченно снизу, то есть если существует такая постоянная М, что для каждого выполняется неравенство f(x)=>M . Например, таковыми являются показательные функции, функции y=x^2n, y=Öx.

· Функция f(x), определенная на множестве Х, называется ограниченной, если множество её значений ограниченно как сверху, так и снизу. Примерами функций, ограниченных на всей числовой прямой, являются функции y=sin x, y=cos x, y=arccos x, y=arcsin x, y=arctg x, y=arcctg x.