Теорема (Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов)

Пусть , Î Vⁿ.

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существуют два числа a, b Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел не равно нулю* и a + b = q.

Доказательство.

1) Пусть векторы и коллинеарны. Докажем, что существуют два числа a, b Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел не равно нулю и a + b = q.

1 случай. = q или = q.

Если = q, возьмем a = 1 и b = 0, тогда a + b = 1 ´ q + 0 ´ = q + q = q.

Если = q, то по аналогии возьмем a = 0 и b = 1.

2 случай. ≠ q и ≠ q.

По определению коллинеарности векторов существует число l ≠ 0 такое, что = l .

Возьмем a = l, b = -1, тогда a + b = l + (-1) = + (- ) = q.

2) Пусть a + b = q и из чисел a и b хотя бы одно не равно нулю.

Так как a + b = q, то a = - b .

Если a ≠ 0 , то = - , и векторы коллинеарны и по определению (см. § 9).
Если a = 0, то b ≠ 0 и вектор = q, то есть векторы и коллинеарны.

Замечания.

1)*Условие «хотя бы одно из двух чисел a и b не равно нулю» означает, что одновременно оба эти числа не могут быть нулями, то есть a² + b² ≠ 0.

2) Ясно, что для любых векторов и можно найти такие два числа a, b Î R такие, что a + b = q ; взять например a = b = 0. В теореме утверждается, что для коллинеарных векторов можно найти числа a и b такие, что a ≠ 0 или b ≠ 0 (или a ≠ 0 и b ≠ 0).

3) Сформулировать данную теорему можно и иначе (для не коллинеарных векторов): «Векторы и не коллинеарны тогда и только тогда, когда равенство a + b = q выполняется только для a = b = 0 ».

Теорема. Пусть , Î V² – не коллинеарные векторы. Тогда, когда для любого вектора Î V² существуют два числа x, y Î R такие, что = x + y , при этом числа x и у определены однозначно.

Доказательство.

1) Существование чисел x, y.

Возьмем произвольный вектор Î V².

Отложим векторы , и от одной точки O: = , = , = .

Так как векторы и не коллинеарны, то точки O,A,B не лежат на одной прямой.

1 случай. Точка C лежит на прямой OA или на прямой OB.

Если C Î OA, то векторы и коллинеарны и существует такое число l, что = l .

Возьмем x = l и y = 0, тогда x + y = l + 0 = .

Если C Î OB поступим аналогично.

2 случай. Точка C не лежит ни на прямой OA, ни на прямой OB.

Через точку С проведем две прямые: прямую a параллельно прямой OA и прямую b параллельно прямой OB.

Пусть a Ç OB = B’ и b Ç OA = A’.

РИС. 23

Четырехугольник OA’CB’ – параллелограмм и ’ + ’ = = .

Так как точки O,A,A’ лежат на одной прямой, то существует такое число x, что ’ = x . Аналогично, существует такое число y, что ’ = y .

Итак, = x + y .

2) Единственность чисел x и y.

Предположим, что для некоторого вектора нашлись два числа x’ и y’ такие, что = x’ + y’ . С другой стороны, существуют два числа x и y, найденные для вектора способом, описанным в пункте 1 и = x + y .

Если = x + y , то - = (-1) (x + y ) = - x - y .

Тогда + (- ) = (x’ + y’ ) + (- x - y ), то есть (x’- x) + (y’- y) = q.

Так как векторы и не коллинеарны, то x’ = x и y’ = y.

Определение. Базисом пространства V² будем называть упорядоченную пару не коллинеарных векторов пространства V².

Определение. Разложить вектор Î V² по базису { , } означает найти два числа x, y Î R такие, что = x + y .

Определение. Координатами вектора в данном базисе будем называть упорядоченный набор коэффициентов в разложении вектора по данному базису, то есть, если = x + y и { , } – базис V², то (x, y) – координаты вектора в базисе { , }.

Пример. Пусть на плоскости введена декартова система координат. Рассмотрим векторы = (1,0) и = (0,1). Векторы и не коллинеарны (см. § 9), то есть образуют базис пространства V². При этом, для любого вектора Î V² координаты этого вектора в данной системе координат – это и есть его координаты в базисе { , }, то есть « = (x, y) Û = x + y ».

Базис { , } на (евклидовой) плоскости называется стандартным.

Упражнения.

1) В треугольнике ABC тока M – середина стороны ВС. Найдите координаты вектора = в базисе { , }, где (1) = , = ; (2) = , = .

2) Точка С делит AB в отношении l. Найдите координаты вектора = в базисе { , }, где = , = .

3) Пусть векторы , Î V³ не коллинеарны, точки O, A, B Î E³ такие, что = , = , то есть векторы и отложены от точки O. Докажите, что если для вектора Î V³ существуют два числа x, y Î R такие, что = x + y , и = , то точка C лежит в плоскости (OAB). Верно ли обратное?

(Указание. В плоскости (OAB) можно ввести декартову систему координат, как на плоскости E².)

4) Пусть , Î V² . Докажите, что если для любого вектора Î V² существуют два числа x, y Î R такие, что = x + y , при этом числа x и у определены однозначно, то векторы и не коллинеарны.

§ 12. Базис пространства V³.

Определение. Векторы , , …, Î V³ (n Î N) будем называть компланарными, если существуют их представители (направленные отрезки) с общим началом, которые лежат в одной плоскости.

Замечания.

1) Ясно, что любые два вектора компланарны.

2) Существуют три компланарных вектора, и существуют три не компланарных вектора, то есть содержательным является вопрос о компланарности трех и более векторов.

3) Если из трех векторов два коллинеарны (в частности, один из них нуль-вектор), то данные три вектора компланарны. То есть если три вектора не компланарны, то среди них нет пары коллинеарных векторов.

4) Ясно, что векторы компланарны тогда, и только тогда, когда любые их представители с общим началом лежат в одной плоскости. (то есть компланарность векторов не зависит от выбора общего начала для их представителей)

Теорема. (Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов).

Векторы , , Î V³ - компланарны тогда, и только тогда, когда существуют три числа a, b, g Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля (a² + b² + g² ≠ 0 ) и a + b + g = q.

Доказательство.

1) Пусть векторы , , Î V³ – компланарны, и пусть = , = , = и точки O,A,B,C лежат в одной плоскости (то есть O Î (ABC)).

Тогда векторы , , можно рассматривать как элементы V², построенные на множестве направленных отрезков плоскости (АВС).

1 случай. Если векторы и коллинеарны, то существуют два числа a, b Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля (a² + b² ≠ 0 ) и a + b = q. Возьмем g = 0, тогда среди чисел a, b, g все равно есть число отличное от нуля a + b + g = (a +b ) + 0 = q + q = q.

2 случай. Если векторы и не коллинеарны, то они образуют базис пространства V² , и существуют два числа a, b Î R такие = a + b . Возьмем g = -1, тогда среди чисел a, b, g есть число отличное от нуля (g = -1) и a + b + g = (a +b ) + (-1) = - = q.

РИС. 24 (1, 2)

2) Пусть существуют три числа a, b, g Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля (a² + b² + g² ≠ 0 ) и a + b + g = q.

Без ограничения общности пусть g ≠ 0. Тогда вектор можно выразить через векторы и : = - - .

Отложим векторы , , от одной точки O: = , = , = . Покажем, что точки O,A,B и C лежат в одной плоскости.

1 случай. Если векторы и коллинеарны, то вектор так же коллинеарен векторам и (см. необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов). Следовательно, точки O,A,B,C лежат на одной прямой, то есть существует плоскость, которая проходит через все эти точки.

2 случай. Векторы и не коллинеарны. Рассмотрим плоскость (OAB) и векторное пространство V², построенное по направленным отрезкам данной плоскости. Построим направленный отрезок =- - (по правилу параллелограмма для суммы двух векторов). Тогда точки O,A,B,C лежат в одной плоскости и = , следовательно, векторы , , компланарны (по определению).

Замечания.

1) Ясно, что для любых векторов , и можно найти такие три числа a, b, g Î R, что a + b + g = q ; взять например a = b = g = 0. В теореме утверждается, что для компланарных векторов можно найти числа a, b и g такие, что a ≠ 0 или b ≠ 0 или g ≠ 0.

2) Сформулировать данную теорему можно и иначе (для не компланарных векторов): «Векторы , , Î V³ – не компланарны тогда, и только тогда, когда равенство a + b + g = q возможно только при a = b = g = 0».

Теорема.

Пусть , , Î V³ – не компланарные векторы. Тогда любого вектора Î V³ существуют три числа x, y, z Î R такие, что = x + y + z , при этом числа x, y, z определяются однозначно.

Доказательство.

1) Существование чисел x, y, z.

Возьмем произвольный вектор Î V³.

Отложим векторы , , , от одной точки O: = , = , = , = .

Так как векторы , и не компланарны, то точки O,A,B,C не лежат в одной плоскости.

1 случай. Точка D лежит в одной из плоскостей: (OAB), (OAC) или (OBC).

Если D Î (OAB), то векторы , и компланарны. Заметим, что векторы и не коллинеарны, то есть образуют базис пространства V² векторов, построенных по направленным отрезкам плоскости (OAB). Тогда и существуют числа x и y такие, что = x + y . В качестве числа z возьмем число 0. Итак, = x + y + 0 .

Если D Î (OAC) или D Î (OBC), поступим аналогично.

2 случай.Точка D не лежит ни в одной из плоскостей: ни в (OAB), ни в (OAC), ни в (OBC).

Через точку D проведем прямую с параллельно прямой OC.

Пусть c Ç (OAB) = D’.

По правилу треугольника = ’ + .

Рассмотрим плоскость (OAB). Векторы и образуют базис пространства V² векторов, построенных по направленным отрезкам в этой плоскости, поэтому существуют два числа x и y такие, что ’ = x + y .

Так как DD’ | | OD, то существует такое число z, что = z = z .

Итак, мы нашли три числа x, y и z такие, что = x + y + z .

РИС. 25(1,2)

2) Единственность чисел x, y и z.

Предположим, что для некоторого вектора нашлись числа x’, y’ и z’ такие, что = x’ + y’ + z’ . С другой стороны, существуют числа x, y и z, найденные для вектора способом, описанным в пункте 1 и = x + y + z .

Если = x + y + z , то - = (-1) (x + y + z ) = - x - y - z .

Тогда + (- ) = (x’ + y’ + z’ ) + (- x - y - z ), то есть (x’- x) + (y’- y) + (z’ – z) = q.

Так как векторы , и не компланарны, то x’ = x , y’ = y и z’ = z.

Определение. Базисом пространства V³ будем называть упорядоченный набор из трех некомпланарных векторов.

Замечание.

Так как базис пространства - это упорядоченный набор векторов, то при смене порядка векторов базиса получится другой базис. Например, базисы { , , } и { , , } различны, так как для базиса { , , } первым вектором является вектор , вторым вектором – вектор , третьим вектором – вектор , а для базиса { , , } первым вектором является вектор , вторым вектором – вектор , третьим вектором – вектор .

Определение. Разложить вектор по базису { , , } – это означает представить его в следующем виде: = x + y + z , где x, y, z Î R.

Определение. Координатами вектора в данном базисе будем называть упорядоченный набор коэффициентов в разложении этого вектора по базису.

Пример. В декартовой системе координат рассмотрим векторы = (1,0,0), = (0,1,0) и = (0,0,1). Векторы , , не компланарны (почему?). Координаты вектора = (x, y, z) в данной системе координат это и есть коэффициенты в разложении вектора по базису { , , }: = x + y + z . Базис { , , } называют стандартным базисом для евклидова пространства E³ (с фиксированной декартовой системой координат).

Упражнения.

1) Пусть , , Î V³ . Докажите, что если для любого вектора Î V³ существуют три числа x,y, z Î R такие, что = x + y + z , при этом числа x, y, z определяются однозначно, то векторы , и не компланарны.

2) Пусть ABCD – тетраэдр, точка M – центр тяжести треугольника ABC. Найдите координаты вектора = в базисе { , , }, где (1) = , = , = ;

(2) = , = , = ; (3) = , = , = .

3) Как изменятся координаты вектора, если все векторы базиса умножить на число l ≠ 0?

4) Пусть = x + y + z . Каковы координаты вектора в базисе { , , }?