Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг.

На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, акции частных фирм, векселя и т.п. Ценная бумага удостоверяет возможность получения некоторого дохода. В общем случае владелец получит некоторый случайный доход.

Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: эффективность и рискованность. Эффективность есть некоторый обобщенный показатель дохода или прибыли. Будем считать случайной величиной, ее математическое ожидание есть .

При исследовании финансового рынка дисперсию обычно называют вариацией и рискованность обычно отождествляется со средним квадратическим отклонением. Таким образом, и .

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Пусть – доля капитала, потраченная на закупку ценных бумаг -го вида. Пусть – эффективность (можно считать, доход за некоторый период времени) ценных бумаг -го вида, стоящих одну денежную единицу. Через будем обозначать ковариацию ценных бумаг -го и -го видов (или корреляционный момент ). Пусть – математическое ожидание эффективности и , где – вариация или дисперсия этой эффективности . Рискованность ценной бумаги -го вида отождествим со средним квадратическим отклонением .

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка называется его портфелем. Эффективность портфеля (в простейшем случае это доход, приносимый ценными бумагами портфеля стоимостью одну денежную единицу за какой-нибудь промежуток времени), вообще говоря, есть случайная величина, обозначим ее через , тогда ожидаемое значение этой эффективности . Дисперсия портфеля есть .

Величина может быть названа риском портфеля. Обычно обозначается . Итак, мы выразили эффективность и риск портфеля через эффективности составляющих его ценных бумаг и их ковариации.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку "нельзя поймать двух зайцев сразу", необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском.

Математическая формализация задачи формирования эффективного портфеля Марковитца такова:

Найти , минимизирующие вариацию эффективности портфеля , при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфеля , т.е. ; поскольку – доли, то в сумме они должны составлять единицу: Оптимальное решение этой задачи снабдим *.Если , то это означает рекомендацию вложить долю наличного капитала в ценные бумаги -го вида. Если же , то содержательно это означает провести операцию "short sale". Если такие операции невозможны, значит необходимо ввести ограничения . Что такое операция "short sale" ?

Если , то инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги -го вида (вместе с доходом, какой они бы принесли их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. На эти деньги он покупает более доходные ценные бумаги и получает по ним доход и оказывается в выигрыше!

Если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть – эффективность безрисковых бумаг, а – доля капитала в них вложенного. Пусть – средняя ожидаемая эффективность и , – вариация (дисперсия), СКО эффективности рисковой части портфеля, в рисковую часть портфеля вложено часть всего капитала. Тогда ожидаемая эффективность всего портфеля , вариация портфеля и риск портфеля , (считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая , получим , т.е. ожидаемая эффективность портфеля линейно зависит от его риска.

Рассмотрим задачу об эффективном портфеле в этом случае, он называется эффективным портфелем Тобина. Рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами от 1 до .

Изложим теперь окончательное решение этой задачи.

Пусть – матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, , – векторы-столбцы долей капитала, вкладываемых в -й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, . Пусть также – -мерный вектор-столбец, компоненты которого есть 1. Тогда оптимальное значение долей есть

(2)

Здесь – матрица, обратная к . В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (верхний индекс означает транспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, – вектор-столбец размерности . Видно, что этот вектор не зависит от эффективности портфеля . Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от . Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от . Однако сумма компонентов вектора зависит от , именно, компоненты вектора пропорционально увеличиваются с ростом , поэтому доля безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Пример. Сформировать эффективный портфель Тобина заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 1 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 2 и 3 и рисками 4 и 10. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции "short sale" и с какими ценными бумагами?

|6| |25 0|

Решение. Итак, m₀=2, M= |8|,.V=|0 144| Зададимся эффективностью портфеля . Теперь надо найти обратную матрицу к матрице . Это просто:

|1/25 0|

V^-1=|0 1/144|. Вычислим знаменатель:

|1/25 0| |4| |4/25|

|0 1/144| |6| = |1/24|,

|4/25|

(M-m₀*I)^T* |4 6| *|1/24|=89/100

|4/25|

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X^*=((m_p-2)/0,89)|1/24|

Таким образом, рисковые доли должны быть разными и каждая из них равна соответственно (m_p-1)/5,56 и. (m_p-1)/21,36. Следовательно,

x₀^*=1-(m_p-1)/5,56-(m_p-1)/21,36. Понятно, что необходимость в операции "short sale" возникнет, если , т.е. когда m_p>6,41. Можно доказать, что риск эффективного портфеля в зависимости от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен , где

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех имеющих заданный, т.е. найти , максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля

при условии, что обеспечивается заданное значение риска портфеля, т.е.

,

поскольку – доли, то в сумме они должны составлять единицу:

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в такой постановке задача формирования такого оптимального портфеля имеет решение, очень похожее на (2): Оптимальное значение долей рисковых бумаг есть

(3)

Можно доказать, что эффективность портфеля максимальной эффективности в зависимости от заданного его риска равна .