ЗАДАНИЕ 2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Инвестор планирует вложить капитал в ценные бумаги предприятия А, Б и безрисковые ценные бумаги. После анализа рынка ценных бумаг оказалось что наиболее подходящими являются два варианта вложения средств: вариант А с номиналом 100руб./акция и вариант Б с номиналом 110руб./акция. Кроме того имеется возможность вложить средства в безрисковые ценные бумаги с эффективностью (доходностью) 3%. Исходные данные для расчета параметров ценных бумаг предприятий А и Б следует взять из задания 1, учитывая, что общая прибыль, указанная в задании 1, получена из расчета на 10 000 штук ценных бумаг. В задании необходимо:

1. Используя только рисковые ценные бумаги предприятий А и Б и приняв, что ценные бумаги не коррелированны (не зависимы друг от друга), составить 11 портфелей по следующему принципу: в портфеле с номеров i = 0…10 доля первых бумаг составляет х₁=1-0,1i, доля вторых составляет х₂=(1-х₁), рассчитать их характеристики. Повторить расчеты для случаев положительно коррелированных бумаг (рост (снижение)) доходности одной бумаги сопровождается ростом (снижением) доходности другой бумаги, коэффициент корреляции изменяется в пределах: ( ) и отрицательно коррелированных (рост (снижение) доходности одной бумагой сопровождается снижением (ростом) доходности другой бумаги, коэффициент корреляции изменяется в пределах ). Результаты оформить в виде табл. 4, отдельно для некоррелированных, положительно коррелированных и отрицательно коррелированных бумаг.

Таблица 4

Номер портфеля     Показатель
Доля ценных бумаг А
Доля ценных бумаг Б
Доходность портфеля, %
1. Ценные бумаги не коррелированы
Дисперсия доходности портфеля (%)2
Среднеквадратическое отклонение доходности портфеля, %
Риск портфеля (коэффициент вариации), %
2. Ценные бумаги положительно коррелированы
Дисперсия доходности портфеля (%)2
Среднеквадратическое отклонение доходности портфеля, %
Риск портфеля (коэффициент вариации), %
3. Ценные бумаги отрицательно коррелированы
Дисперсия доходности портфеля (%)2
Среднеквадратическое отклонение доходности портфеля, %
Риск портфеля (коэффициент вариации), %

Полученные результаты сравните и сделайте вывод о наиболее привлекательном портфеле, сделанный выбор экономически обоснуйте.

2. Сформулировать и решить задачу формирования портфелей минимального риска при заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: акции предприятия А, акции предприятия Б и безрисковых ценных бумаг. Допустимые уровни риска портфеля представлены в табл. 5.

Таблица 5

Вариант (соответствует последней цифре учебного шифра)
Показатель
Риск портфеля, %

Методические указания

На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п. Инвестор, у которого есть свободный капитал, всегда будет искать на финансовом рынке активы, способные удовлетворить его пожелания относительно пропорции между доходностью и риском.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг по различным их характеристикам.

Набор ценных бумаг, находящийся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его ценных бумаг. Доходность портфеля – это доходность на единицу стоимости портфеля, выраженная в процентах годовых.

1. Каждый инвестор сталкивается с дилеммой выбора между доходностью и риском. Любой портфель оценивается по двум критериям – эффективности (доходности) и риску. Между портфелями существует отношение доминирования. Один портфель будет недоминируемым, когда для двух портфелей с эффективностью и риском (e₁, V₁) и (e₂, V₂), соответственно, выполняются условия Такой портфель будет называться эффективным.

Пусть х₁ – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг предприятия А.

х₂ – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг предприятия Б.

Весь капитал принимается за единицу, поэтому очевидно, что . Пусть d_i – доходность в процентах годовых ценных бумаг предприятия А в расчете на одну денежную единицу, определяемая по формуле:

где - средняя прибыль, полученная на весь пакет ценных бумаг, которую следует взять из задания 1.

- номинал, одной ценной бумаги i-го вида.

Тогда доходность всего портфеля определяют по формуле:

Дисперсия доходности каждого вида ценных бумаг j (предприятий А и Б) определяется на основе данных задания 1 по формуле:

Дисперсия доходности портфеля ценных бумаг определяется по формуле:

где V_ij – ковариация доходностей ценных бумаг i-го вида и j-ой характеристики (зависимость между ценными бумагами).

Так как портфель ценных бумаг состоит только из двух видов ценных бумаг предприятий А и Б с характеристиками:

(d₁, s₁) < (d₂, s₂),

Воспользуемся определением парного коэффициента корреляции и преобразуем формулу для дисперсии портфеля к следующему виду:

где –коэффициент корреляции ценных бумаг предприятий А и Б (зависимость между ценными бумагами).

Риск портфеля ценных бумаг представляет собой отношение среднеквадратического отклонения портфеля ценных бумаг к среднему ожидаемому значению или доходности портфеля и определяется по формуле:

2. Любой инвестор заинтересован в уменьшении риска портфеля при поддержании его эффективности на определенном уровне. В задании необходимо сформировать портфель, который обеспечивает наибольшее значение ожидаемой доходности для фиксированного уровня риска.

Математически задача максимизация доходности при фиксированном уровне риска определяется следующими формулами:

В результате решения поставленной задачи на оптимизацию воспользуемся методом множителей Лагранжа, получаем следующую систему уравнений:

Решая систему, получим:

где d₀ – доходность безрисковой бумаги,

d₁ и d₂ – доходность бумаг вида А и Б соответственно,

s₁ и s₂ – среднеквадратическое отклонение доходности бумаг вида А и Б соответственно,

l₁ и l₂ – коэффициенты функции Лагранжа.

На основании результатов расчетов необходимо сделать вывод об оптимальном варианте вложения капитала в ценные бумаги при фиксированном риске портфеля.