Анализ доходности и рискованности финансовых операций.

Финансовая операция называется рискованной, если она имеет хотя бы два исхода, неравноценных в системе предпочтений ЛПР (Лицо Принимающее Решения). Например, операция Q:(-2;10), означающая, что ЛПР может получить доход 10 или убыток -2, является рискованной. Операция H:(3;12) также является рискованной, ибо даже получив доход 3, ЛПР будет недоволен - ведь мог бы получить 12!

Доход и риск операции, вероятностно характеризуемой.

Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина (с.в.)- это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход от операции Q есть с.в., которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание M[Q] называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением СКО, т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q] . Задана с.в. дохода Q , находится средний ожидаемый доход M[Q], дисперсия D[Q] и риск операции r. Средний ожидаемый доход – это математическое ожидание с.в. : , где есть вероятность получить доход . А среднее квадратическое отклонение (СКО) – это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать количественной мерой риска операции и обозначать . Таким образом, здесь предлагается новый количественный измеритель риска операции. В финансовой математике этот измеритель считается основным. Напомним, что дисперсия с.в. .

Зададим 4 операции по примеру (12,1/2)(3,1/2)(4,1/4)(10,1/4) т.е. в каждой операции 4 возможных дохода - первое число в каждой паре скобок, второе число в этой паре скобок - это вероятность этого дохода - какая-то правильная дробь. Сумма всех вероятностей-дробей должна быть равна 1. Для каждой операции подсчитаем средний ожидаемый доход m и среднее квадратическое отклонение - риск r. Нанесем каждую операцию в виде точки (r,m) на плоскость (риск - по горизонтали вправо, доход – по вертикали вверх) и отметим недоминируемые точки, т.е. оптимальные по Парето.

Доходы и вероятности средний ожидаемый

операций доход и риск операций

1-я операция (0,1/2)(8,1/5)(10,1/4)(40,1/20) 6.10 8.98

2-я операция (-8,1/4)(-2,1/5)(-1,1/20)(10,1/2) 2.55 7.77

3-я операция (2,1/3)(8,1/3)(10,1/6)(20,1/6) 8.33 6.05

4-я операция (-4,1/20)(0,1/4)(4,1/2)(14,1/5) 4.60 5.18

доход

_8.33 Q3

_6.10 Q1

^4.60 Q4

^2.55 Q2

^{0 5.18 6.05 7.77 8.98} риск

Применим взвешивающую формулу: F(Q)=2Q-R.

F(Q1)= 3.22

F(Q2)=-2.67

F(Q3)=10.61 Вывод – 3-я операция самая лучшая.

F(Q4)= 4.02

Пусть Q1 и Q2 – две финансовые операции с эффективностями q1, q2 и рисками r1, r2 соответственно. Пусть t – какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операция Qt=(1-t)Q1+tQ2 – линейная комбинация операций Q1 и Q2. Эффективность операции Qt равна (1-t)q1+tq2, дисперсия операции Qt равна (1-t)^2*D1+t^2*D2, где D1,D2 – дисперсии операций, значит риск операции Qt есть: rt=Sqrt((1-t)^2*r1^2+t^2*r2^2).

Найдем линейную комбинацию заданных финансовых операций Q1 и Q3 (см. выше). Пусть t=1/2, тогда:

q(t)=7.215

r(t)=5.41

По формуле взвешенной F(Qt)=9.02

Таким образом, линейная комбинация хуже 3-ей, но лучше 1-й операции.