Сведение задачи с ограничениями типа неравенств
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический университет»
Нижнекамский химико-технологический институт
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Лабораторный практикум
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический университет»
Нижнекамский химико-технологический институт
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Лабораторный практикум
Казань 2006
Методы оптимизации: лабораторный практикум/ Э.Р. Галеев, В.В. Елизаров, В.И. Елизаров; Казан. гос. технол. ун-т. Казань, 2006. 64с.
Приведены лабораторные работы по разделам курса «Методы оптимизации»: линейное программирование, нелинейное программирование, принцип максимума.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям «Информатика и вычислительная техника», «Автоматизированные технологии и производства».
Подготовлено на кафедре АТПП Нижнекамского химико-технологического института КГТУ.
Печатается по решению методической комиссии по циклу дисциплин систем автоматизации, электротехники и электропривода Нижнекамского химико-технологического института КГТУ.
Рецензенты: к.т.н., доц. А.В. Садыков
к.ф-м.н. О.В. Шемелова
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
Работа 1. Решение транспортной задачи симплексным методом линейного программирования5
1.1. Сведение задачи с ограничениями типа неравенств к задаче с ограничениями типа равенств 7
1.2. Симплексный метод решения задач линейного программирования 8
1.3. Постановка транспортной задачи 11
1.4. Порядок выполнения работы 18
Работа 2. Оптимизация реактора идеального смешения методами нелинейного программирования20
2.1. Градиентные методы 22
2.2. Безградиентные методы детерминированного поиска 29
2.3. Методы случайного поиска 34
2.4. Поиск при наличии «оврагов» целевой функции 39
2.5. Постановка задачи оптимизации реактора идеального смешения 42
2.6. Порядок выполнения работы 43
Работа 3. Оптимизация реактора идеального вытеснения на основе принципа максимума46
3.1. Формулировка принципа максимума в задаче со свободным правым концом 48
3.2. Постановка задачи оптимизации реактора идеального вытеснения 56
3.3. Порядок выполнения работы 61
Библиографический список 64
ВВЕДЕНИЕ
Оптимизацией в самом широком смысле этого слова называется получение наилучших результатов в тех или иных условиях. Оптимальное управление является одной из наиболее активно разрабатываемых областей техники и нашло большое число применений в космонавтике, химии, энергетике и других отраслях промышленности.
Современная теория управления решает задачи исследования многомерных систем, систем с ограничениями на фазовые переменные и управления, стохастических и больших систем с запаздыванием.
Исходным положением современной теории управления является система уравнений состояния, описывающих поведение системы.
При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать метод, который приводил бы к конечным результатам, обеспечивающим получение оптимального значения критерия оптимальности. Выбор того или иного метода определяется постановкой задачи и используемой математической моделью объекта оптимизации.
Для решения задачи оптимизации применяют в основном следующие методы: методы исследования функций классического анализа; линейное, нелинейное программирование; методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа; вариационное исчисление; динамическое программирование; принцип максимума.
Предлагаемый лабораторный практикум направлен на освоение некоторых методов линейного и нелинейного программирования и принципа максимума.
РАБОТА 1. РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Цель работы: ознакомиться с симплексным методом линейного программирования.
Задание: используя симплексный метод научиться решать задачи линейного программирования, освоить методику решения одно- и многопродуктовой транспортной задачи в среде Microsoft Office Excel.
Значительное число планово-производственных задач имеет выражение критерия оптимальности в виде линейной функции от входящих в него переменных. При этом на указанные переменные могут быть также наложены некоторые ограничения в форме линейных равенств или неравенств.
Примером подобных задач является задача отыскания такого распределения ограниченного количества сырья между различными производствами, когда общая стоимость получаемой продукции максимальна.
Другим примером служит транспортная задача, когда необходимо так организовать доставку товаров из различных складов к нескольким пунктам назначения, чтобы затраты на перевозку были минимальными.
Решение этих задач, математическая формулировка которых сводится к требованию максимизации или минимизации критерия оптимальности, заданного в виде линейной функции независимых переменных с линейными ограничениями на них составляет задачу линейного программирования[1,2].
В задачах линейного программирования критерий оптимальности представляется в виде
, (1.1)
где 
– заданные постоянные коэффициенты, среди которых могут быть и равные нулю.
На значения переменных 
налагаются дополнительные условия, заданные в виде равенств и неравенств
, 
; (1.2а)
, 
; (1.2б)
, 
. (1.2в)
При этом предполагается 
, т.к. в большинстве экономических задач независимые переменные, имеющие конкретный физический смысл (единицу продукции, цены и т.д.), не могут быть отрицательными величинами.
Будем также считать, что все величины 
в ограничениях (1.2) отличны от нуля и положительны.
Число ограничений типа равенств 
не должно превышать число переменных . Общее же число неравенств может быть произвольным. Коэффициенты 
в соотношениях (1.2) принимаются действительными числами, положительными или отрицательными, среди которых могут быть и равные нулю.
Оптимальным решением задачи линейного программирования, или как еще называют, оптимальным планом является совокупность неотрицательных значений переменных , которая удовлетворяет соотношениям (1.2) и обеспечивает в зависимости от постановки задачи максимальное или минимальное значение линейной функции (1.1).
Сведение задачи с ограничениями типа неравенств