Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств

Пусть функция Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru и функции Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru имеют непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru и пусть эта точка является точкой локального минимума функции Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru при ограничениях Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru . Тогда существуют такие неотрицательные множители Лагранжа Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru , что для функции Лагранжа Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru точка Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ruявляется стационарной точкой функции, т.е.

Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (21)

Поясним смысл теоремы на примерах.

Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru Пример1 Иллюстрация к условиям существования минимума в задаче оптимизации с ограничениями неравенствами.  

Аналогия: мяч катится по долине, ограниченной заборами (ограничения неравенства, Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru ) и останавливается в точке Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (на активном ограничении Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru ) с минимальным значением функции Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru .

Эта точка характеризуется балансом сил Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru , Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru .

Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru Пример2 Рассмотрим двумерную задачу нелинейного программирования, в которой область допустимых значений Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru задается тремя ограничивающими функциями.  

Если точка Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru находится внутри множества Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (т.е. является стационарной точкой функции Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru , то теорема будет справедлива, если положить все множители Лагранжа Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru равными нулю.

Пусть теперь точка Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru находится на одной из дуг, например, на дуге AB, т.е. пусть ограничение Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru является активным ограничением, а остальные ограничения – неактивными ограничениями. Тогда Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru и справедливость теоремы вытекает из правила множителей Лагранжа для задачи с ограничениями типа равенств, если положить Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru .

Пусть, наконец, точка Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru находится в одной из угловых точек множества Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru , например, в точке Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru , т.е. пусть ограничения Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru являются активными ограничениями, а ограничение Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru – неактивным ограничением. Тогда можно положить Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru и справедливость теоремы вытекает из правила множителей Лагранжа для задачи с ограничениями типа равенств.

Теорема означает, что в ее условиях вместо задачи условной оптимизации (18), (19) можно решать задачубезусловной оптимизации

Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (22)

Следствие из теоремы.Существуют такие неотрицательные множители Лагранжа Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru , что имеют место следующие равенства:

· Условие стационарности по Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru : Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru(23)

· Условие допустимости решения Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (24)

Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (для максимума Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru )

Кроме того, выполняется условие дополняющей нежесткости

Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (25)

Из этого условия следует, что если ограничение в точке Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru неактивное, т.е. Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru , то Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru , а если активное, т.е. Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru , то Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (для минимума) и Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (для максимума).

Из (21) следует, что антиградиент целевой функции является неотрицательной (неположительной в случае максимума) линейной комбинацией градиентов функций, образующих активные ограничения в точке Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru .

Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru (26)

где индекс Теорема Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств - student2.ru означает активное ограничение.

Наши рекомендации