Обработка результатов прямых многократных наблюдений

Общая методика обработки прямых измерений с многократными наблюдениями.

Исходной информацией для обработки является ряд из n (n > 4) результатов измерений х₁, х₂, х₃, …, х_n, который называется выборка. Число n за­висит как от требований к точности получаемого результата, так и от реальной возможности выполнять повторные измерения.

При статистической обработке группы результатов наблюдений выполняют ряд последовательных операций.

1. Определяют систематические погрешности, которые ис­ключаются из полученных результатов наблюдений с помощью вве­дения поправок.

2. Для исправленных результатов наблюдений вычисляют сред­нее арифметическое, приравнивая его к истинному значению из­меряемой ФВ.

2. Вычисляют оценку СКО результатов наблюдений S_x и оценку СКО среднего арифметического.

3. Проверяют результаты измерений на наличие грубых по­грешностей и промахов.

4. Проверяют гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

5. Вычисляют доверительные (интервальные) границы случай­ной погрешности результата измерения (случайной составляющей погрешности) при заданной вероятности.

6. Вычисляют границы неисключенной систематической погрешности θ (неисключенных остатков систематической погрешности) результата измерения.

7. Вычисляют доверительные границы суммарной погрешности результата измерения.

8. Результат измерения записывают в виде

Q = ± D_Σ (Р; n).

При отсутствии данных о видах функции распределения составляющий погрешности результата или при необходимости дальнейшей обработки результат измерения представляют в форме

Q = ( ; n; q).

Задание для курсовой работы.

Цифровым измерителем иммитанса Е7-14 проводились прямые многократные измерения сопротивления магазина сопротивлений марки Р33, номинальное значение которого равно 0,1 Ом. Измерения проводились в диапазоне рабочих температур измерителя иммитанса.

Получены результаты измерения R_i, мОм.

Проведенные измерения характеризуются неисключенной систематической погрешностью, задаваемой пределом допускаемого значения:

основной погрешности измерения измерителя Е7–14, определяемой по формуле (для диапазона измерения от 0,1 … 1000 мОм)

, (2.1)

где Q – добротность катушки сопротивления (для данного магазина сопротивлений добротность Q = 0); R_k – конечное значение диапазона, Ом;

дополнительной погрешности измерения в диапазоне рабочих темпера­тур, которая задана формулой

, (2.2)

где k = 2 – множитель, определяемый по второй цифре варианта.

Для устранения влияния соединительных проводов и переходных со­противлений контактов был проведен ряд измерений при нулевом значе­нии магазина сопротивлений. Получены результаты измере­ния R_0i, мОм.

Требуетсяпровести обработку результатов наблюдений:

− определить и исключить систематические погрешности;

− для исправленных результатов наблюдений вычислить сред­нее арифметическое значение, оценку СКО результатов наблюдений и оценку СКО среднего арифметического;

− проверить результаты измерений на наличие грубых по­грешностей и промахов;

− проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

− вычислить доверительные (интервальные) границы случай­ной погрешности результата измерения;

− вычислить границы неисключенной систематической погрешности θ;

− вычислить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать результат измерения.

Уровень значимости проверки гипотез принять q = 0,05, доверительные границы при расчете погрешностей Р_д = 0,95.

Рассмотрим методику решение задачи на примере.

Исходные данные:

− результаты измерения R_i: 145,44; 145,36; 145,43; 145,38; 145,44; 145,42; 45,41; 145,39; 145,40; 145,41; 145,45; 145,43; 145,46; 145,37; 145,48; 145,48 мОм.

− результаты измере­ния R_0i: 45,30; 45,29; 45,28; 45,31 45,26 мОм.

Решение:

1. Определение систематической погрешности.

Систематическая погреш­ность измерения сопротивления состоит из трех составляющих, обус­ловленных:

ненулевым значением сопротивления соединительных проводов и пе­реходных контактов зажимов используемых средств измерений;

основной и дополнительной погрешностями измерителя иммитанса Е7−14.

Первая из них может быть оценена исходя из данных измерений нуле­вого сопротивления магазина. Полученный ряд данных характеризуется средним арифметическим значением и оценкой его СКО:

; (2.3)

, (2.4)

где n – количество измерений; – среднее арифметическое значение нулевого сопротивления магазина, мОм; – оценка СКО нулевого сопротивления магазина, мОм.

Для удобства расчетов составим таблицу 2.1.

Таблица 2.1

Расчет среднего арифме­тического значения и оценки СКО сопротивления соединительных проводов и пе­реходных контактов зажимов

R0i
45,26	-0,028	0,000784
45,28	-0,008	0,000064
45,29	0,002	0,000004
45,30	0,012	0,000144
45,31	0,022	0,000484
ΣR0i = 226,44		0,0148

мОм;

Сопротивление проводов постоянно присутствует в результатах изме­рений и по своей сути является систематической погрешностью, которая может быть исключена из результатов измерений путем введения поправ­ки, равной θ = –45,288 мОм.

После введения поправки получается исправленный ряд значений сопро­тивления R_иi: 100,072; 100,082; 100,092; 100,102; 100,112; 100,122; 100,122; 100,132; 100,142; 100,142; 100,152; 100,152; 100,162; 100,172; 100,192; 100,192 мОм.

2. Определение среднего арифметического и оценки СКО исправленных результатов.

Среднее арифме­тическое исправленных значений сопротивления и его оценку СКО определяем по формуле:

; (2.7)

. (2.8)

где R_иi – значений сопро­тивления исправленного ряда, мОм; – оценка СКО среднего арифметического исправленных значений сопротивления, мОм.

Для удобства расчетов составим таблицу 2.2.

Таблица 2.2

Расчет среднего арифме­тического значения и оценки СКО сопротивления магазина сопротивлений (по исправленному ряду значений)

Rиi
100,072	-0,058	0,003364
100,082	-0,048	0,002304
100,092	-0,038	0,001444
100,102	-0,028	0,000784
100,112	-0,018	0,000324
100,122	-0,008	0,000064
100,122	-0,008	0,000064
100,132	0,002	0,000004
100,142	0,012	0,000144
100,142	0,012	0,000144
100,152	0,022	0,000484
100,152	0,022	0,000484
100,162	0,032	0,001024
100,172	0,042	0,001764
100,192	0,062	0,003844
100,192	0,062	0,003844
ΣRиi = 1602,14		0,02008

мОм;

мОм.

Оценка СКО исправленных результатов измерений определяем по формуле:

; (2.7)

мОм.

3. Проверка результатов измерений на наличие грубых погрешностей. Для проверки результатов измерений на наличие грубых погрешностей используем критерий Романовского [13].

Вычисляем отношение

(2.8)

и полученное значение β сравниваем с теоретическим β_т при заданном уровне значимости q (табл. 2.3). Если полученное значение β ≥ β_т, результат измерения исключают и проверяют следующий и т.д. По новой выборке заново проводят все расчеты.

Таблица 2.3

Таблица значений β_т= f(n)

Уровень значимости q	Число измерений, n
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,45	2,62

Для нашего примера при уровне значимости q = 1− Р = 0,01 и n = 16, табличный коэффициент β_т = 2,64.

Проверим крайние значения результатов измерения R_иmax и R_иmin

;

,

т.е. все результаты измерений приняты.

4. Проверка гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

Для проверки гипотезы используем составной критерий [4], т.к. число измерений n = 16. Уровень значимости проверки гипотез принять в зависимости от варианта по таблице 2.4.

Таблица 2.4

Уровень значимости проверки гипотез (по вариантам)

Первая цифра варианта
q1	0,02	0,1	0,2	0,02	0,1	0,2	0,02	0,1	0,2	0,02
Вторая цифра варианта
q2	0,02	0,01	0,05	0,02	0,01	0,05	0,02	0,01	0,05	0,02

В нашем примере, уровень значимости проверки гипотез принимаем q₁ = q₂ = 0,02.

Вычисляем статистику по формуле

. (2.9)

Квантили (квантиль − абсцисса, соответствующая определенной вероятности) распределения которых приведены в таблице 2.5.

Таблица 2.5

Квантили распределения

п	d0,01	d0,05	d0,1	d0,90	d0,95	d0,99
	0,9359	0,9073	0,8899	0,7409	0,7153	0,6675
	0,9137	0,8884	0,8733	0,7452	0,7236	0,6829
	0,9001	0,8768	0,8631	0,7495	0,7304	0,6905
	0,8901	0,8686	0,8570	0,7530	0,7360	0,7040
	0,8827	0,8625	0,8511	0,7559	0,7404	0,7110
	0,8769	0,8578	0,8468	0,7583	0,7440	0,7167
	0,8722	0,8540	0,8436	0,7604	0,7470	0,7216
	0,8682	0,8508	0,8409	0,7621	0,7496	0,7256
	0,8648	0,8481	0,8385	0,7636	0,7518	0,7291

Если при данном числе измерений n и выбранном уровне зна­чимости q₁ соблюдается условие

d_1-0,5q < d ≤ d_0,5q, (2.10)

то гипотеза о нормальности распределения на основании первого критерия принимается, если − нет, то отвергается.

В нашем случае по формуле

.

Из таблице 2.5 для n = 16 и q₁ = 0,02 находим квантили d_0,01 = 0,9137 и d_0,99= 0,6829.

Сравнение статистики d с квантилями показывает, что 0,6829 < d = 0,8362 < 0,9137. Это означает, что в соответствии с первым крите­рием (при уровне значимости 0,02) результаты измерений рас­пределены по нормальному закону.

Гипотеза по второму критерию принимается, если не более m аб­солютных разностей результатов измерений |R_иi − | при задан­ном уровне значимости, превышают значение

t_p×S_Rи, (2.11)

где t_p – квантиль, соответствующая интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t_p) = 0,5(1 + Р), определяемая по табл. 1 или 2 (приложение Б). Величина Р нахо­дится при заданном уровне значимости q₂ по данным табл. 2.6.

Таблица 2.6

Доверительная вероятность Р при заданном уровне значимости q₂

n	m	Р при уровне значимости q, равном
0,01	0,02	0,05
		0,98	0,98	0,96
11 − 14		0,99	0,98	0,97
15 − 20		0,99	0,99	0,98
21− 22		0,98	0,97	0,96
		0,98	0,98	0,96
23 − 27		0,98	0,98	0,97
28 − 32		0,99	0,98	0,97
33 − 35		0,99	0,98	0,98
36 − 49		0,99	0,99	0,98

При q₂ = 0,02, n = 16 по табл. 2.6 находим Р = 0,99, m = 1. По табл. 2 (приложения Б) для Ф(t_p) = 0,995 значение t_p = 2,575 и значение допускаемого уровня (2.11)

2,575 ∙ 0,03543 = 0,09123.

Анализ ре­зультатов измерений, приведенных в таблице 6.6, показывает, что ни один из результатов не превышает 0,09123, поэтому распределение результатов наблюдений можно считать близким к нормальному в соответствии со вторым критерием при уровне значимости 0,02.

Таким образом, оба критерия говорят о том, что распределение результатов измерений с уровнем значимости q ≤ q₁ + q₂ = 0,04 можно признать нормальным.

5. Определение доверительных границ случайной погрешности.

Случайную составляющую погрешности измерений определяем по формуле

; (2.12)

где t_p – величина, определяемая по таблице 4 (см. приложение Б), для Р_д = 0,95 и k = 15, это значение t_p = 2,131.

мОм.

Доверительный интервал погрешности измерения сопротивления про­водов определяем по формуле

, (2.13)

где t_p – величина определяемая по таблице 4 (см. приложение Б), для Р_д = 0,95 и k = 4, это значение t_p = 2,776.

мОм.

Эту погрешность можно рассмат­ривать двояко: как неисключенную систематическую погрешность и как составляющую случайной погрешности.

Случайные погрешности измерений исследуемого сопротивления и сопро­тивления подводящих проводов можно считать некоррелированными, так как измерения проводились в разное время. Поэтому суммарную случайную по­грешность определяем по формуле

, (2.14)

где – суммарная случайная погрешность измерения, мОм; – границы i-й элементарной случайной погрешности, мОм.

мОм.

6. Определение доверительных границ неисключенной систематической погрешности.

Обычно эта погрешность образуется из ряда составляющих: погрешности метода и средства измерения, субъективной погрешности и т.д. При суммировании эти составляющие рассматривают как случайные величины. При отсутствии информации о законе распределения неисключенных составляющих систематических погрешностей, их распределения принимают за равномерные, и границы неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляют по формуле

θΣ =

, если < , , если ≥ ,

(2.15)

где θ_i – границы i-й элементарной случайной погрешности; k – поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых m, их соотношения и доверительной вероятности. При P < 0,99 он мало зависит от числа слагаемых и может быть представлен усредненными значениями, приведенными в таблице 2.7.

Таблица 2.7

Зависимость коэффициент k от P и m

Р	Значение k при m	Среднее значение
				¥
0,90 0,95 0,99	0,97 1,10 1,27	0,96 1,12 1,37	0,95 1,12 1,41	0,95 1,12 1,42	0,95 1,13 1,49	0,95 1,1 1,4

Составляющую систематической погрешности, обусловленную основной погрешностью измерителя иммитанса Е7−14, рассчитываем по формуле (2.1). В формуле (2.1) за измеряемое значение R принимаем – среднее арифметическое значений ряда неисправленных пока­заний измерителя иммитанса, Ом.

Среднее арифметическое значение ряда неисправленных пока­заний измерителя иммитанса определяем по формуле

. (2.16)

мОм.

Следовательно, систе­матическая погрешность, обусловленная основной погрешностью Е7–14 по формуле (2.1) составит:

Ом.

Систематическую погрешность, обусловленную дополнительной погреш­ностью средства измерений определяем по формуле (2.2). В нашем случае принимаем k = 2, тогда

; (2.17)

.

Суммарную систематическую погрешность определяем по формуле (2.15)

.

7. Определение доверительных границ суммарной погрешности результата измерения.

Вычисляют доверительные границы суммарной погрешности результата измерения:

если q_Σ / < 0,8, то границы погрешности результата измерения принимаются равными случайной погрешности, D_Σ = _Σ;

если q_Σ / > 8, то границы погрешности результата измерения принимаются равными систематической погрешности, D_Σ = q_Σ;

если 0,8 £ q_Σ / £ 8, то общую погрешность измерения определяют по формуле

D _Σ = K·S_å, (2.18)

где К – коэффициент, зависящий от соотношения _Σи q_å; S_å– оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерений;

; (2.19)

. (2.20)

В нашем случае q_Σ / = 1,095/0,009148 = 119 > 8.

Из полученных данных видно, что систематическая погрешность значительно больше случайной, поэтому, последнюю можно не учитывать.

Результат измерения записываем в виде

R = (100,1 ± 1,1) мОм при Р = 0,95, n = 16