Обработка результатов многократных прямых измерений

Рассмотрим серию из n прямых равноточных измерений физической величины Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , подчиняющейся нормальному закону распределения. Оценкой рассеяния однократных наблюдений относительно среднего арифметического Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru является среднеквадратичная погрешность σ , определяемая по формуле:

Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru (6)

где хi – однократное измеренное значение, n – число измерений в серии,

Выполнив серию из m измерений величины Х, мы получили бы новое значение среднего арифметического Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru есть новое действительное значение измеряемой величины. Повторив многократно серии измерений, мы убедимся в рассеянии средних арифметических значений. Характеристикой этого рассеяния является среднеквадратическое отклонение среднего арифметического Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , определяемого по формуле

Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru (7)

Величина Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru используется для нахождения интервальной оценки погрешности многократных измерений одной и той же физической величины Х, истинное значение которой Х0 неизвестно.

Теория показывает, что если рассеяние результатов измерений Хi в серии подчиняется нормальному закону, то их погрешности , а так же среднее арифметическое, являясь случайной величиной, тоже подчиняется нормальному закону (распределение Гаусса) при достаточно большом числе измерения (n>50).

Причём мерой рассеяния Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru истинного значения измеряемой величины служит Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , а доверительный интервал Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru при заданной доверительной вероятности Р определяется как Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru . При это считается что истинное значение измеряемой величины лежит в границах Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru = Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru Коэффициент t для нормального закона распределения случайной величины Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru находится по таблице интеграла Лапласа.

При небольшом числе измерений (серия малой выборки) среднее арифметическое Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru подчиняется закону распределения Стьюдента. При этом Δm= Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , где Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru - коэффициент Стьюдента, который зависит от числа наблюдений n, выбранной доверительной вероятностью P, и находится по специальной таблице. Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал Δm с уменьшением числа наблюдений расширяется, по сравнению с нормальным законом распределения при той же доверительной вероятности P. Коэффициент Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений и выбранной доверительной вероятности и находится по специальной таблице. Так при числе измерений n=14 и доверительной вероятности Р=0,95 коэффициент Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru =2,16.

Правила обработки прямых многократных измерений учитывают следующие факторы:

  • обрабатываются результаты конечной серии из n измерений физической величины Х;
  • результаты измерений Хi могут содержать как случайную, так и систематическую погрешности;
  • в серии могут встречаться грубые ошибки или промахи;
  • распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального

Обработка результатов многократных измерений должна осуществляться по следующему алгоритму:

1. Исключить известные систематические погрешности (например методическую погрешность) из результатов измерений (введением поправки).

2. Вычислить среднее арифметическое Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru из исправленных результатов измерений, принимаемое за действительное значение измеряемой величины.

3. Вычислить среднеквадратичное отклонение (СКО) результатов измерений σ.

4. Проверить наличие в группе наблюдений грубых погрешностей (промахов), исходя из того, что при нормальном законе распределения f(Δ) ни одна абсолютная погрешность Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru = Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru - Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru случайного характера с вероятностью Р=0,997 не может выйти за пределы ±3σ. Наблюдения, не удовлетворяющие этому критерию, исключаются из группы и снова повторяют вычисления Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru и σ.

5. Вычислить оценку Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru по формуле (7).

6. Проверить гипотезу о том, что результаты измерений Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , а также абсолютная погрешность Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru принадлежат нормальному распределению.

Приближенно это можно сделать по критерию Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , или построив гистограмму. Строго это определяется с использованием критериев Пирсона, Мизеса-Смирнова и др. При n<15 нормальность распределения не проверяется (распределение Стьюдента).

7. Вычислить доверительные границы Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru случайной погрешности результата измерения при заданной доверительной вероятности Р, Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ruОбработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , где Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru коэффициент Стьюдента.

8. Вычислить границы, суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) средства измерений, которая складывается из основной и дополнительных.

При суммировании эти составляющие рассматриваются как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения не исключенных составляющих систематических погрешностей их распределения принимают за равномерные. При равномерном распределении НСП различного характера, границы (предельные значения) неисключенной систематической погрешности результата измерений Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru вычисляют по формуле:



Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , где i=0 соответствует основной НСП инструментального характера, k зависит от заданной доверительной вероятности Р (при Р=0,995, k=1,1). Для i=1 вычисляется дополнительная погрешность инструментального характера от влияющего фактора №1 (например температура)  

9. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерений для случаев:

Если Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru <0,8, то не исключенной систематической погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности равным
Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru = Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru

Если Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru >0,8 то случайной погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата равными
Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru

Если оба неравенства не выполняются, то границы погрешности результата измерений Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru приближенно можно представить в виде суммы Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru . Результат многократного измерения физической величины Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru записывают как Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru

Пример.:

Результаты многократного измерения выходного напряжения стабилизатора (В) следующие: 220,0; 220,9; 219,9; 221,1; 221,3. Систематическая погрешность показаний составляет (+0,1 В). Доверительный интервал (доверительные границы по модулю ) для истинного значения силы с вероятностью Р=0,95 ( Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru =2,776) равен…

Решение:

1)Вносим поправку в каждое измерение

219.9; 220.8; 219.8; 221; 221.2

2) Вычисляем среднее арифметическое Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru

Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru

3) Вычисляем Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru

Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru

4) Вычисляем Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru

Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , В

5) Вычисляем Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru

Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru , В

6) Находим границу погрешности случайного характера Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru (доверительный интервал при заданной доверительной вероятности Р=0,95

и соответствующем Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru =2,776 Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru 0,239=0,802 В

Поскольку НСП в данной задаче не учитывается, окончательный результат записывается в виде

Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru 220.54 Обработка результатов многократных прямых измерений - student2.ru 0.802, В

Наши рекомендации