Определение скорости звука резонансным методом

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды можно представить в виде векторной суммы колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это вытекающее из опыта утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн. Уравнение бегущей в направлении оси x плоской волны

y (x,t)=a∙cos(ωt-kx+j)

описывает колебания той точки среды, которая в равновесии имеет координату x. y(x,t) - отклонение этой точки в момент времени t относительно равновесного положения; a – амплитуда колебаний; ω – угловая (циклическая) частота; k – волновое число. Аргумент косинуса (в данном случае ωt-kx+j) называется фазой колебаний. Постоянная j задаёт начальную фазу для x = 0. В том случае, когда колебания точек среды, обусловленные отдельными волнами, обладают постоянной разностью фаз, эти волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Рассмотрим две встречные плоские волны, имеющие одинаковые частоты и амплитуды. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград, когда падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отражённая волна, накладываются друг на друга. Две встречные плоские волны описываются уравнениями

y₁(x,t)=a∙cos(ωt-kx+j₁),

y₂(x,t)=a∙cos(ωt+kx+j₂).

Сложив вместе эти уравнения и использовав формулу для суммы косинусов, получим

y(x,t)=y₁+y₂=2∙a∙cos(kx+0.5(j₁-j₂))∙cos(ωt+0.5(j₁+j₂)).

Чтобы упростить это уравнение, описывающее стоячую волну, выберем начало отсчёта для координаты х так, чтобы разность (j₁ - j₂) стала равной нулю, а начало отсчёта времени t - так, чтобы оказалась равной нулю сумма (j₁ + j₂). Кроме того, заменим волновое число k его значением 2πx/λ, где λ – длина волны. Получим:

y(x,t)=2∙a∙cos(2πx/λ)∙cos(ωt).

Видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причём амплитуда стоячей волны A зависит от х:

A(x) = 2∙a∙cos(2πx/λ).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

2πx/λ = ±nπ , (n = 0,1,2,…),

амплитуда колебаний достигает максимального значения (рис.1).

Эти точки называют пучностямистоячей волны. Они имеют координаты

x_пучн = ± nλ /2 , (n = 0,1,2,…).

Координаты точек, в которых амплитуда колебаний обращается в нуль (узлыстоячей волны), равны:

x_узл = ± (n + 1/2) λ /2 , (n = 0,1,2,…).

Из полученных формул следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояния между соседними узлами, равно λ/2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Рассмотрим звуковые колебания в объёме газа, находящемся в трубе, и ограниченном с одного конца звуковой мембраной динамика, а с другого конца поршнем. Звуковая волна, созданная мембраной динамика, бежит вдоль трубы и отражается от поршня. При отражении от более плотной среды (в данном случае от поршня) фаза волны изменяется на противоположную, и на этой границе образуется узел волны. Если, при этом, в образовавшейся стоячей волне положению мембраны динамика будет соответствовать пучность, то отражённая от поршня волна, вернувшись к динамику, будет усиливать колебания мембраны. Тем самым, звуковая волна в газе будет усиливаться, и наблюдается явление акустического резонанса, т.е. резкое усиление звука. Частоты колебаний, для которых наблюдается резонанс, называются резонансными или собственными частотами.В данном случае собственные частоты равны

n_рез = (2n + 1)∙ c/4L (Гц). (1)

где с - скорость звука, L – расстояние между мембраной динамика и поршнем, n = 0,1,2,3…, т.е. на длине L должно умещаться нечётное число четвертей длин волн. Частота n связана с угловой частотой соотношением w = 2pn.

З а д а н и е

Установите динамик, служащий источником звука, у открытого конца акустической трубы, но так, чтобы динамик не касался трубы. Подайте на динамик сигнал от звукового генератора частотой 400-500 Гц (V = 4 В).

Плавно перемещая поршень в трубе, найдите несколько положений с максимальной громкостью звучания, соответствующие акустическому резонансу и разным значениям n в формуле (1). Измерьте линейкой расстояние между динамиком и поршнем (оно примерно равно длине выдвинутой штанги поршня).

Используя формулу (1), определите скорость звука в воздухе. Для повышения точности выполните несколько измерений и возьмите среднее значение.

Проделайте аналогичные измерения при нескольких (3-4) частотах звука, изменяя частоту на звуковом генераторе в пределах 200-800 Гц.

Лабораторная работа №13