Пример решения задачи 3

Для стального вала (рис. 3.2) требуется:

1) найти через известные мощности P_i соответствующие скручивающие моменты Т_i;

2) найти неизвестный момент Т_А из условия равенства нулю угла поворота свободного конца вала;

3) построить эпюру крутящих моментов М_к;

4) подобрать круглое сечение из условий прочности;

5) построить эпюры углов поворота j по длине вала.

Дано: Р₁=100 квт, Р₂=60 квт, Р₃=40 квт, ω=35 с^-1; а=1 м, b=0,8 м, c=0.6 м, [τ]=30 МПа.

Решение:

1 Определяем скручивающие моменты:

; ; .

2 Значение неизвестного момента Т_A найдем из того условия, что угол закручивания свободного конца вала равен нулю, т.е. j_А=0. Для удобства счета разобьем этот угол на составляющие, зависящие от каждого скручивающего момента (принцип независимости действия), т.е.

φ_А = φ_ТА + φ_Т1 + φ_Т2 + φ_Т3 = 0,

где φ_ТА - угол поворота концевого сечения от действия только момента Т_А,;φ_Тi- то же, но от действия только момента Т_i.

Распишем это выражение:

,

где GJ_p – жесткость бруса при кручении.

Подставив числовые значения, после преобразований получим

кн м.

3 Пользуясь методом сечений, определяем величины крутящих моментов на отдельных участках вала.

Участок 1 0 ≤Z₁≤ а; М_K1= +Т_А = +1,57 кНм .

Участок 2 0 ≤ Z₂ ≤ b; М_К2= Т_А –Т₁= 1,57 - 2,91 = -1,34 кНм

Участок 3 0 ≤ Z₃ ≤с; М_К3 = Т_А –Т₁ + Т₂= 1,57 - 2,91 +1,75 = 0,41кНм

Участок 4 0 ≤ Z₄ ≤а; М_К4 = Т_А –Т₁+ Т₂ – Т₃ = 1,57 - 2,91 +1,75 -1,17 = -0,76кНм.

По полученным значениям крутящих моментов строим эпюру М_к (рисунок 3.2б).

4 Определим диаметр вала из условия прочности на кручение

,

где W_r=0,2 D³ – полярный момент сопротивления.

Тогда = =0,064 м=64 мм.

Округляя до стандартного значения, кратного 5, получаем D=65 мм.

5 Вычислим углы поворота «j» по формуле

.

Определим сначала жесткость бруса

кн м².

Так как углы поворота обоих концов вала равны нулю, то отсчет углов можно вести с любого конца вала.

Участок 1: 0 £ z₁ £ а=1 м: ;

z₁=0 j₁=0, z₁=1,0 м рад,

где φ_I – угол поворота конца первого участка.

Участок 2: 0 £ z₂ £ в=0,8 м

;

z₂=0 j₂=j_I=0,0109 рад; z₂ = в=0,8 м

рад,

где φ_II – угол поворота конца второго участка.

Участок 3: 0 £ z₃ £ 0,6 м

;

z₃=0 j₃=j_II=34,68×10^-4 рад; z₃ £ с=0,6 м

рад.

Участок 4: 0 £ z₄ £ а=1,0 м.

;

z₄=0; j₄=j_III=51,18×10^-4 рад; z₄=1м;

.

По полученным значениям j_i строим эпюру углов поворота «j» (рисунок 3.2д).

Задача 4

Плоский изгиб балок

Для заданной балки (рис. 4.1) требуется:

1) построить эпюры поперечных сил Q, изгибающих моментов М;

2) подобрать:

- для балок с 1 по 6 схемы – из сортамента двутавровое сечение, материал балки – сталь [s]=160 МПа;

- для балок с 7 по 12 схемы – круглое сечение, материал – дерево [s]=10 МПа;

- для балок с 13 по 18 схемы - прямоугольное сечение с отношением сторон h:b=2, материал - сталь [s]=160 МПа;

Исходные данные в таблице 4.1

Рисунок 4.1 Схемы балок

Таблица 4.1