Пример решения задачи №1

Прежде чем приступить к решению задачи, следует изучить тему «Растяжение и сжатие». Цель задачи: а) научить определять продольную силу и нормальные напряжения в сечении ступенчатого бруса (стержня) при действии на него нескольких внешних сил; б) научить строить эпюры N и , т.е. графики изменения продольной силы и нормального напряжения по длине бруса.

Условие задачи: По оси стального ступенчатого стержня (рис. 19а) приложены силы F₁ и F₂, значения которых, а также площади поперечных сечений и длины участков указаны на рисунке. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений и определить полное удлинение стержня. Модуль продольной упругости материала Е=2*10⁵ МН/м².

Решение: Верхний конец стержня (рис.19) жестко заделан. Нижний конец свободен. Прежде чем приступить к определению внутренних сил, разбиваем стержень на отдельные участки, начиная со свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы или в которых изменяются размеры поперечного сечения стержня.

Рис.19

Рассмотрим брус по высоте. Первый участок АВ от точки приложения силы F₁, т.е. от нижнего торца бруса до сечения, в котором происходит изменение его размеров. Второй участок ВС до сечения, в котором приложена сила F₂ . Третий участок CD от места приложения силы F₂ до заделки.

Пользуясь методом сечений, определяем значения внутренних продольных сил в сечениях стержня, поскольку нижний конец не закреплён, удобнее начинать именно с него, не определяя реакций заделки стержня.

Проводим сечение I-I в пределах первого участка. Необходимо представить сечение как бы скользящим, что позволяет просматривать участок по высоте стержня.

Мысленно отбросим верхнюю часть до сечения I-I (рис.196) и, рассматривая оставшуюся нижнюю часть в состоянии равновесия, составим уравнение проекций сил на ось У: N₁ – F₁ = 0, откуда N₁ = F₁ = 150 кН = 0,15 МН.

Продольная сила положительна, следовательно, на участке АВ имеет место растяжение.

Проводим сечение II-II на участке ВС стержня и отбросим верхнюю часть (рис.19в). по аналогии с предыдущим записываем уравнение равновесия N₂ – F₁ = 0, откуда N₂ = 0,15 МН. Участок ВС также растянут.

Проводим сечение III-III на участке CD и отбрасываем верхнюю часть стержня (рис.19г), запишем уравнение равновесия нижней части: N₃ + F₂ – F₁ = 0, отсюда

N₂ = F₂ – F₁ = 150 - 200 = - 50 кН = -0,05MH.

Продольная сила отрицательна, а следовательно, третий участок стержня сжат.

Зная продольную силу на каждом из трех участков, определим значения нормальных напряжений, имея в виду, что A₁ = 18 см², А₂ = 12 см²:

N₁ / А₁ = 0,15/0,0018 = 83,3 МПа (растяжение);

= N₂ / А₂ = 0,15/0,0012 = 125 МПа (растяжение);

= N₃ / А₂ = - 0,05/0,0012 = - 41,7 МПа (сжатие);

По найденным значениям строим эпюры N и (рис.19д, е). для этого проводим две прямые (базовые линии), параллельные оси стержня, каждой точке этой прямой соответствует определенное сечение стержня, считая прямые за нулевые линии, откладываем вправо и влево от них соответственно положительные и отрицательные значения N и . знаки на эпюрах ставятся обязательно. Подписываем значения отложенных ординат. Эпюры штрихуются линиями, перпендикулярными нулевой линии. Длина каждого штриха выражает значение той или другой величины в соответствующем сечении бруса.

Определяем полное удлинение стержня

подставив численные значения, получим

1/(2*10⁵) (0,15*1,0/0,0018+0,15*0,4/0,0012+0,05*0,6/0,0012) = 0,00054м = 0,54мм.