Пример решения задачи №4

Рамные системы широко применяют в железобетонных, металлических и деревянных конструкциях. Одно- и многоэтажные рамы используют при возведении фабрично - заводских корпусов, общественных зданий, складов, башен элеваторов, мостов, трибун стадионов, для установки механизмов, при устройстве набережных и т.д.

Определение поперечной силы, изгибающего момента, продольной силы, действующих в сечениях рамы, и построение их эпюр является начальной стадией расчета рамных конструкций.

К решению данной задачи можно приступить после изучения темы «Статически определимые плоские рамы». Необходимо иметь в виду, что изучение этой темы невозможно без твёрдых навыков и прочных знаний по теме « Изгиб прямого бруса».

Условие задачи: Для статически определимой рамы построить эпюры Q_Х, М_Х и N. Проверить равновесие узла (рис. 25).

Для рам консольного типа эпюры Q_x, М_х и N могут быть построены без определения опорных реакций заделки, если начинать эти построения со стороны свободного конца.

Условимся при расчете рамы мысленно ставить себя на плоскость чертежа внутрь рамы. Тогда, повернувшись лицом к сечению, в котором определяется внутренний силовой фактор или относительно которого составляется уравнение равновесия, легко представить себе, какую часть рамы следует считать левой, а какую правой. В этом случае при определении внутренних силовых факторов для рам становится возможным пользоваться правилами, применяемыми при построении эпюр для балок.

Рис. 25

Решение: Построение эпюры Q.За ось абсцисс принимаем ось любого стержня. Перпендикулярно ей мысленно проводим ось ординат и проецируем на неё силы, действующие соответственно слева и справа от рассматриваемого сечения, учитывая правила знаков.

Ригель ВС.Ход справа. Поперечную силу определяем по характерным точкам (аналогично простым балкам).

Qв = 0;

Q_D^npaв = q (1 /2) = 4 kH;

Q_D^прав=Q_D^npaв+F =9 kH;

Q_{C =} Q_D^лев = 9 kH.

Стойка АС.Повернёмся лицом к стойке, проведём мысленно ось перпендикулярно оси стойки и спроецируем на неё силы ходом справа: Q_c = 0; Q_A = 0. Изобразим полученные результаты графически. Проведем ломаную линию ABC (рис.25,6) и от нее, как от нулевой линии, отложим вычисленные ординаты эпюры поперечных сил. Положительные ординаты эпюры для ригеля откладываются вверх от нулевой линии и влево от нулевой линии для стойки. Отрицательные соответственно вниз и вправо от нулевой линии.

Построение эпюры М (рис.25в).Изгибающий момент в сечениях рамы определяем также по характерным точкам ходом справа (со свободного конца).

Ригель ВС. М_В=0;

M_D= -q(l²/8) = -4 kH m;

М_С = - FI / 2 – q*1/2*3/41 = - 22 kH m.

Стойка АС.Как и при определении поперечной силы, при переходе от ригеля к стойке повернёмся на 90°, лицом к стойке. Точка С принадлежит одновременно и ригелю и стойке, поэтому М_С^стойки = М_С^риг = - 22 kH m. Так как в данной задаче непосредственно к стойке не приложены внешние нагрузки, а плечи сил F и Q остаются неизменяемыми, то в любом сечении от С до А изгибающий момент один и тот же. М_А = М_С = -22 kH m. При построении эпюры изгибающих моментов (как и в балках) положительные ординаты откладываем со стороны растянутых волокон.

Построение эпюры N (рис.25г). Определяя продольную силу, проецируем заданные силы на ось абсцисс, совмещая её сначала с ригелем, затем со стойкой. Продольная сила в любом сечении ригеля равна нулю, N_CВ= 0, так как справа от сечения действует нагрузка, перпендикулярная его оси. Продольная сила во всех сечениях стойки постоянна, так как сама стойка не нагружена и на ось стойки дают проекцию силы F и 2q. N_СА = - F - 2q = - 9 kH. Ординаты эпюры продольных сил откладываем симметрично по обе стороны от оси рассматриваемого элемента. Знак плюс, поставленный на эпюре N, соответствует деформации растяжения, знак минус - сжатия.

Для проверки правильности построения эпюр рассмотрим равновесие узла С. Для этого мысленно вырежем этот узел, проведя два сечения на бесконечно близком расстоянии, в ригеле справа от узла, в стойке - слева от него.

Вырезанный таким образом узел дает возможность, рассматривая сечение в ригеле, считать узел отнесённым к левой части ригеля, а при рассмотрении сечения в стойке - к правой части стойки. Прикладываем к узлу С внутренние силовые факторы Q_x, М_Х и N, беря их значение с эпюр с учетом знака, показывающего направление их действия (рис.25д).

Из эпюры Q_Х видим, что поперечная сила в сечении С ригеля положительна. Поскольку точка С относится к левой части рамы (согласно принятому ранее), Q_риг согласно правилу знаков направляем вниз. На стойке поперечная сила отсутствует.

Из эпюры М_X видим, что изгибающий момент вызывает растяжение верхних волокон. Следовательно, с учетом правила знаков в ригеле изгибающий момент М_C направляем по часовой стрелке, а в стойке (узел С относим к правой части рамы) - против часовой стрелки. Продольная сила N_СА вызывает в сечении сжатие и, следовательно, должна быть направлена в сторону этого сечения.

Для равновесия узла должны соблюдаться следующие условия:

=0; =0; = 0.

Составим эти уравнения, направив ось X вправо, а ось Y вертикально вверх:

= 0 ; = N_ст - Q_pиг = 9-9 =0; = М^стойки - М^риг = 22-22 =0.

Условия равновесия соблюдаются. Следовательно, внутренние силовые факторы определены правильно.