Пример решения задачи №2

Требуется определить значения опорных реакций балок двухопорной или жестко защемлённой.

Двухопорная балка(рис.7а)

Обозначим шарнирно-неподвижную опору А, шарнирно-подвижную В. Изобразим расчетную схему балки (рис.7б). Освобождаем балку от связей, заменив их действие на балку опорными вертикальными реакциями R_A и R_B, поскольку в данной задаче, кроме сосредоточенного момента, внешние нагрузки только вертикальные. Для удобства расчета равномерно распределённую нагрузку заменяем равнодействующей Q, которая равна произведению интенсивности q (kH/m) на длину участка её приложения, т.е.

Q = q * 1 = 10 * 3 = 30 кН. Линия действия равнодействующей проходит через середину участка, занятого равномерно распределённой нагрузкой.

На расчетной схеме балки (рис.7б) должны быть проставлены расстояния от сил до каждой из опор. Особое внимание обратите на расположение распределённой нагрузки на балках с консолями, чтобы избежать ошибок, возникающих при определении плеча силы Q. Значение сосредоточенного момента в любое уравнение равновесия входит с тем знаком, который ему приписывается с учетом направления действия.

Рис.7 Рис.8

Для двухопорных балочных систем при определении опорных реакций самыми рациональными являются уравнения моментов относительно опор А и В. Составим эти уравнения: = Q*b + M-R_B( b+c) + F (b+c+d) = 0;

R_B = (Q*b + M + F(b+c+d))/(b+c) = (30*1 + 5 + 15*4)/3 = 31,7 kH;

= R_A(b+c)-Q*c + M + F*d = 0;

R_А = (Q*c -M-F*d)/(b+c) = (30*2-5-15*l)/3 = 13,3 kH;

Так как определение реакций - первый этап расчета балки на изгиб, то его следует считать особенно ответственным. Поэтому во избежание ошибок при вычислении необходимо производить проверку найденных значений реакций.

Составим уравнение проекций всех сил на ось Y.

= R_A-Q + R_B- F = 13,3 - 30 + 31,7 - 15 = 45 - 45 = 0;

Если это равенство не удовлетворяется, следовательно, при определении опорных реакций была допущена ошибка.

Консольная балка (рис. 8а)балка с защемлённой опорой называется консолью. Защемляющая неподвижная опора лишает балку всех трех степеней свободы: линейных перемещений вдоль осей X и Y и возможности поворота в плоскости этих осей. Соответственно в защемлении появляются три неизвестные реакции: R_AХ и R_AУ и реактивный момент заделки М _А (рис.8а). Для их определения наиболее удобными являются следующие уравнения равновесия:

1. Уравнение моментов сил относительно точки заделки М _А= 0 -для определения реактивного момента М _А, так как силы R_AX и R_Ay , приложенные к точке А, в это уравнение не войдут ( их моменты относительно точки А равны нулю).

2. - для определения горизонтальной реакции R_AХ.

3. - для определения вертикальной реакции R_AУ.

По расчетной схеме балки (рис.86) составим уравнения равновесия

= -M_A + F*a + M + Q(a + b) = 0;

Отсюда М _А = F*а + М + Q ( а + Ь) = 8* 0,5 + 10 + 2*1,5 = 17 кНм.

Значит М _А> 0; следовательно, принятое направление момента правильное.

Из уравнения = R_АУ - F - Q = 0 находим R_AУ = F + Q = 8+2=10 кН.

Из уравнения следует, что R_AX = 0.

Для проверки решения удобно составить уравнение моментов относительно произвольно взятой точки, например В:

= - М _А + М + R_Ay*1 - F*(b + с) – Q*с = -17 + 10 + 10*2 – 8*1.5 – 2*0.5 = =-30+30=0.