УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не

При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не смешивать понятия абсолютного давления РА, избыточного давления Р, вакуума РВАК , знать взаимосвязь между давлением (Па) и соответствующей ей пьезометрической высотой (h), уяснить понятие напора, знать закон Паскаля и свойства гидростатического давления.

При определении давления в точке объема или на точку площадки используется основное уравнение гидростатики (1.1.13).

При решении задач с системой сосудов необходимо составить уравнение абсолютных давлений, обеспечивающих неподвижность системы, т.е. равенства нулю алгебраической суммы всех действующих давлений. Уравнение составляется для какой - либо поверхности равного давления, выбранной в качестве поверхности отсчета.

Все единицы измерения величин следует принимать в системе СИ: масса – кг; сила – Н; давление – Па; линейные размеры, площади, объемы – м, м2, м3.

ПРИМЕРЫ

Пример 1.1.1. Определить изменение плотности воды при ее нагревании от t1= 7оС до t2 = 97оС, если коэффициент температурного расширения bt =0,0004 оС-1.

Решение. При нагревании удельный объем воды увеличивается от V1 до V2.

По формуле (1.1.1) плотность воды при начальной и конечной температурах составляет:

r1 = М / V1, r2 = М / V2.

Так как масса воды постоянна, то изменение плотности выражается:

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Из формулы (1.4) увеличение объема воды УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru , тогда

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Примечание: изменение плотности жидкости при сжатии определяется аналогично с использованием коэффициента объемного сжатия по формуле (1.1.2). При этом V2 = V1 - DV.

Пример 1.1.2. Определить объем расширительного бачка системы водяного охлаждения вместимостью 10 литров при нагревании от температуры t1 = 15оС до t2 = 95оС при давлении, близком к атмосферному.

Решение. Без учета коэффициента запаса объем бачка равен дополнительному объему воды при температурном расширении. Из формулы (1.1.4) увеличение объема воды

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru .

Плотности воды принимаем по таблице 1: r1 = 998,9 кг/м3, r2 = 961,8 кг/ м3. Коэффициент температурного расширения определяем по формуле (1.1.5):

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Первоначальный объем V =10л = 10 .10-3 м3 = 0,01 м3.

Дополнительный объем воды:

DV = 10 .10-3 (95 -15) 0,46 .10-3 = 368 .10-6 м3 = 0,368 л

Пример 1.1.3. В охлаждаемом сосуде газ, имеющий первоначальное давление Р1 = 105 Па. и занимающий объем V1 = 0,001 м3, сжимается до давления Р2 = 0,5 . 106 Па. Определить объем газа после сжатия.

Решение. В случае охлаждаемого сосуда процесс является изотермическим (t = const) при котором уравнение состояния газа (1.1.8) принимает вид:

Р V = const или Р1 V1 = Р2 V2

Откуда определяем объем газа после сжатия

V2= Р1 V1 / Р2 = 1 . 105 . 0.001 / 0,5 . 106 = 0,0002 м3 =0,2 л.

Пример 1.1.4. Определить объем воды, который необходимо дополнительно подать в трубопровод диаметром d = 500 мм и длиной L = 1км, заполненный водой перед гидравлическим испытанием при атмосферном давлении и температуре t = 20оС, для повышения давления в нем на DР = 5 .106 Па. Материал труб считать абсолютно жестким.

Решение. Для определения дополнительного объема воды, который необходимо подать используем соотношение (1.1.2):

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru = УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Первоначальный объем воды в трубопроводе равен объему трубопровода:

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Приняв по справочным данным модуль объемной упругости воды

Е = 2 . 109 Па, определяем коэффициент объемного сжатия:

bV = 1 /Е = 1 / 2 . 109 = 5 . 10-10, Па-1

Преобразовывая соотношение (1.1.2) относительно DV, получаем:

bV DР VТР + bV DР DV = DV; bV DР VТР = (1 + bV DР) DV

Выражая DV, получаем искомый дополнительный объем:

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Пример 1.1.5. Определить среднюю толщину отложений dОТЛ в трубопроводе внутренним диаметром d = 0,3 м и длиной L = 2 км, если при выпуске воды в количестве DV =0,05 м3 давление в нем падает на величину DР = 1 . 106 Па.

Решение. Взаимозависимость изменения объема и давления воды характеризуется модулем объемной упругости.

Принимаем: Е = 2.109 Па.

Из формул (1.1.2) и (1.1.3) находим объем воды в трубопроводе с отложениями:

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Этот же объем равен вместимости трубопровода:

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Откуда определяем средний внутренний диаметр трубы с отложениями

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Средняя толщина отложений составляет:

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Пример 1.1.6. Вязкость нефти, определенная по вискозиметру Энглера, составляет 8,5оЕ. Вычислить динамическую вязкость нефти, если ее плотность r = 850 кг/м3.

Решение. По эмпирической формуле Убеллоде (1.1.9) находим кинематическую вязкость нефти:

n = (0,0731 оЕ – 0,0631 / оЕ) 10-4 =

= (0,0731 . 8,5 – 0.0631/8,5) = 0,614 . 10-4 м2

Динамическую вязкость находим из соотношения (1.1.7):

m = n r = 0,614 . 10-4 . 850 = 0,052 Па .с.

Пример 1.1.7. Определить высоту подъема воды в капиллярной трубке диаметром d = 0,001 м при температуре t = 80ОС.

Решение. По справочным данным находим:

плотность воды при температуре 80ОС r = 971,8 кг/м3;

поверхностное натяжение воды при температуре 20ОС sО = 0,0726 Н/м;

коэффициент b = 0,00015 Н/м ОС.

По формуле (1.1.11) находим поверхностное натяжение воды при температуре 80ОС:

s = sО - b Dt = 0,0726 – 0,00015 . (80 -20) = 0,0636 Н/м

По формуле (1.1.12) изменение поверхностного давления, определяющего высоту капиллярного поднятия hКАП, составляет:

РПОВ = 2s / r или r g hКАП = 2s / r ,

откуда находим высоту подъема воды в трубке:

hКАП = 2 s / r g r = 2 . 0,0636 / 971,8 . 9,81 . 0,0005 =

= 0,1272 / 4,768 = 0,027 м =2,7 см.

Пример 1.1.8. Определить абсолютное гидростатическое давление воды на дно открытого сосуда, наполненного водой. Глубина воды в сосуде h = 200 см. Атмосферное давление соответствует 755 мм рт. ст. Температура воды 20 оС. Выразить полученное значение давления высотой ртутного столба (rРТ = 13600 кг/м3) и водного столба.

Решение: По основному уравнению гидростатики для открытого резервуара абсолютное давление в любой точке объема определяется по формуле (1.1.14):

РА = Ра + r g h

По таблице 1 принимаем плотность воды при температуре 20 оС:

r = 998,23 кг/м3.

Переводя единицы измерения атмосферного давления и глубины воды в сосуде в систему СИ, определяем абсолютное давление на дне сосуда:

РА = 755 .133,322 + 998.23 . 9,81 . 2 =

= 100658 + 19585 = 120243 Па =120,2 КПа

Находим соответствующую высоту ртутного столба:

hА = Р/ rРТ g =120243 /13600 . 9,81 = 0, 902 м.

Находим высоту водного столба, соответствующую данному абсолютному давлению:

hА = РА / r g = 120243 / 998,23 . 9,81 = 12, 3 м.

Это означает, что если к уровню дна сосуда присоединить закрытый пьезометр (трубку, в которой создан абсолютный вакуум), то вода в нем поднимется на высоту 12,3 м. Давление этого столба воды уравновешивает абсолютное давление, оказываемое на дно сосуда жидкостью и атмосферным давлением.

Пример 1.1.9. В закрытом резервуаре с водой давление на свободной поверхности РО =14,7 . 104 Па. На какую высоту Н поднимется вода в открытом пьезометре, присоединенном на глубине h = 5 м. Атмосферное давление соответствует hа = 10 м вод. ст.

Решение. Для решения данной задачи необходимо составить уравнение равенства абсолютных давлений со стороны резервуара и со стороны пьезометра относительно выбранной плоскости равного давления. Выберем плоскость равного давления 0-0 на уровне свободной поверхности в резервуаре.

Абсолютное давление со стороны резервуара на выбранном уровне равно поверхностному давлению:

РА = РО. (1)

Абсолютное давление на том же уровне со стороны жидкости в пьезометре складывается из атмосферного давления Ра и давления воды высотой h1:

РА = Ра + r g h1 (2)

Так как система находится в равновесии (покое), то абсолютные давления со стороны резервуара и со стороны пьезометра уравновешиваются. Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим:

РО = Ра + r g h1,

Величина атмосферного давления в системе СИ составляет:

Ра = 9,806 . 10 000 мм = 9,806 . 104 Па.

Находим высоту превышения уровня воды в пьезометре над выбранной плоскостью равного давления:

h1 = (РО - Ра ) / r g = (14,7 . 104 - 9,806 . 104) /1000 . 9,81 = 5 м.

Это превышение не зависит от точки подключения пьезометра, так как давления столбов жидкости высотой h ниже плоскости сравнения слева и справа взаимно компенсируются.

Общая высота воды в пьезометре больше высоты h1 на глубину погружения точки присоединения пьезометра. Для данной задачи

Н = h1 + h = 5 + 5 = 10 м.

Примечание: аналогичный результат можно получить, выбрав в качестве плоскости равного давления уровень подключения пьезометра.

Пример 1.1.10. Построить эпюру абсолютного давления жидкости на ломаную стенку в открытом резервуаре.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru Решение. Абсолютное давление в случае открытого резервуара определяется по формуле (1.1.14):

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru РА = Ра + r g h, т.е. избыточное давление в каждой точке увеличивается на величину поверхностного давления (закон Паскаля).

Избыточное давление определяется:

в т. С: Р = r g . 0 = 0

в т. В: Р = r g . Н2

в т. А: Р = r g (Н2 + Н1)

Отложим значение избыточного давления в точке В по нормали к стенке СВ и соединим с точкой С. Получим треугольник эпюры избыточного давления на стенку СВ. Для построения эпюры абсолютного давления в каждой точке необходимо добавить значение поверхностного давления (в данном случае атмосферного).

Аналогично ведется построение эпюры для отрезка АВ: Отложим значения избыточного давления в точке В и в точке А в направлении нормали к линии АВ, соединим полученные точки. Абсолютное давление получаем, увеличивая длину вектора на величину, соответствующую атмосферному давлению.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru Пример 1.1.11. Определить абсолютное давление воздуха в сосуде с водой, если показание ртутного манометра h = 368 мм, Н = 1 м, плотность ртути rРТ =13600 кг/м3. Атмосферное давление соответствует 736 мм рт.ст.

Решение.

Выберем свободную поверхность ртути в качестве поверхности равного давления. Атмосферное давление на поверхности ртути уравновешивается абсолютным давлением воздуха в сосуде РА, давлением столба воды высотой Н и столба ртути высотой h.

Составим уравнение равновесия и определим из него абсолютное давление воздуха (переводя все единицы в систему СИ):

Ра = РА + rВ g Н + rРТ g h , откуда

РА = Ра - rВ g Н - rРТ g h =

= 736 . 133,3 - 1000 . 9,81 . 1 - 13600 . 9,81 . 0,368 = 39202 Па

Так как абсолютное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного, то в сосуде имеет место вакуум, равный разности атмосферного и абсолютного давлений:

РВАК = Ра – РА = 736 . 133,3 - 39202 = 58907 Па = 59 КПа.

Примечание: тот же результат можно получить, выбрав в качестве поверхности равного давления свободную поверхность воды в сосуде или поверхность раздела воды и ртути.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru Пример 1.1.12. Определить избыточное давление РО воздуха в напорном баке по показаниям батарейного ртутного манометра. Соединительные трубки заполнены водой. Отметки уровней даны в м. Какой высоты должен быть пьезометр для измерения этого давления?

Решение. Избыточное давление РО = РА – Ра в баке уравновешивается давлением столбов ртути и воды в манометре.

Давления взаимно уравновешивающихся высот на участках изгиба манометра из рассмотрения исключаем. Суммируя (с учетом направления действия давления) показания манометра от открытого конца до уровня свободной поверхности, составим уравнение равновесия:

РО = rРТ g (1,8 – 0,8) - rВ g (1,6 – 0,8) +rРТ g (1,6 – 0,6) - rВ g (2,6 – 0,6) =

= rРТ g (1,8 – 0,8 +1,6 – 0,6) - rВ g (1,6 – 0,8 + 2,6 – 0,6) =

=13600 . 9,81 . 2 – 1000 . 9,81 . 2.8 = 239364 Па = 0,24 МПа

Из формулы (1.16) находим высоту столба воды, соответствующую избыточному давлению РО:

hИЗБ = РО / rВ g = 0,24 .106 / 1000 . 9,81= 24,5 м

Высота пьезометра выше на величину превышения свободной поверхности воды в баке над плоскостью с нулевой отметкой:

Н = hИЗБ + 2,6 = 27,1 м.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru Пример 1.13. Определить толщину s стальной стенки бака диаметром D = 4 м для хранения нефти (rН = 900 кг/м3) при высоте слоя нефти Н = 5 м. Давление на поверхности нефти РО = 24,5 . 104 Па. Допустимое напряжение на растяжение материала стенки s = 140 МПа.

Решение. Расчетная толщина стенки круглого бака (без коэффициента запаса) определяется из условия сопротивления максимальному избыточному давлению. Атмосферное давление в баке не учитывается, так как оно компенсируется атмосферным давлением с внешней стороны бака.

Максимальное избыточное давление Р стенка испытывает у дна:

Р = РА – Ра = РО + rН g Н - Ра =

= 24,5 . 104 + 900 . 9,81 . 5 – 10 . 104 = 18,91 . 104 Па

Расчетная толщина стенки определяется по формуле:

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru

Пример 1.1.14.Определить перепад давлений воды в вертикальном трубном кольце, если в точке А она нагревается до температуры t1 = 95оС, а в точке В остывает до t2 = 70оС. Расстояние между центрами нагревания и охлаждения h1 = 12 м.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru Решение. Перепад давлений обусловлен разностью гидростатических давлений столба горячей воды в левой трубе и остывшей воды в правой трубе.

Давления столбов воды высотой h2 в левой и правой трубах взаимно уравновешиваются и в расчете не учитываются, так как температура воды в них и, соответственно, плотность, одинаковы. Аналогично исключаем из расчета давления в левом и правом стояках высотой h3.

Тогда давление слева Р1 = rГ g h1, давление справа Р2 = rО g h1.

Перепад давлений составляет:

DР = Р2 – Р1 = rО g h1 - rГ g h1 = g h1 (rО - rГ)

Принимаем по справочным данным (таблица 1) плотности воды при температуре t1 = 95оС и t2 = 70оС: rГ = 962 кг/м3, rО = 978 кг/м3

Находим разность давлений

DР = g h1 (r2 - r1) = 9,81 . 12 (978 –962) = 1882 Па.

Пример 1.1.15. а) Определить избыточное давление воды в трубе, если РМАН = 0,025 МПа, Н1 = 0,5 м, Н2 = 3 м.

б)Определить показания манометра при том же давлении в трубе, если вся трубка заполнена водой, Н3 =5 м.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не - student2.ru а)Решение. Избыточное давление в трубе уравновешено поверхностным давлением РО = РМАН в точке подключения манометра и системой столбов воды и воздуха в трубке. Давлением столбов воздуха можно пренебречь ввиду незначительности.

Составим уравнение равновесия с учетом направления давления столбов воды в трубке:

Р = РМАН + rВОД g Н2 - rВОД g Н1 =

= 0,025 + 1000 . 9,81. 10-6 (3 – 0,5) = 0,025 + 0,025 = 0,05 МПа

б) Решение. Уравнение равновесия для данного случая

Р = РМАН + rВОД g Н3 ,

откуда РМАН = Р - rВОД g Н3 = 0,05 - 1000. 9,81. 10-6 . 5 = 0,05 – 0,05 = 0 МПа.

Наши рекомендации