Две основные задачи динамики точки

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 4

ДИНАМИКА.. 5

1. Основные законы динамики. 5

2. Две основные задачи динамики точки. 6

3. Колебания материальной точки. 8

4. Основное уравнение динамики относительного движения. 11

5. Теорема о движении центра масс механической системы.. 12

6. Теорема об изменении количества движения для материальной точки. 15

7. Теорема об изменении количества движения механической системы.. 16

8. Понятия о моментах инерции. 17

9. Теорема об изменении кинетического момента. 19

10. Дифференциальные уравнения движения твердого тела. 21

11. Работа силы.. 23

12. Кинетическая энергия точки и твердого тела. 25

13. Теорема об изменении кинетической энергии. 26

14. Закон сохранения полной механической энергии. 28

15. Принцип Даламбера (метод кинетостатики) 29

16. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. 31

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 34

ВВЕДЕНИЕ

Раздел «Динамика» является основным и заключительным в курсе теоретической механики. В нем изучаются законы движения материальных точек и механических систем при действии на них сил. Для инженера важное значение имеет не только знание этих законов динамики, но и умение применять их к решению конкретных практических задач.

Основной задачей настоящего методического указания является оказание помощи студенту заочной формы обучения при подготовке к аудиторной контрольной работе. При положительной оценке преподавателем результатов указанной контрольной работы студент будет допущен к сдаче экзамена по разделу «Динамика» дисциплины «Теоретическая механика».

В контрольной работе будут содержаться теоретический вопрос и одна задача на применение основных законов и принципов раздела «Динамика».

В методическом указании содержится минимум необходимый для ответов на теоретические вопросы материалов, а также примеры задач, тематика которых совпадает с тематикой задач, которые будут представлены при проведении аудиторной контрольной работы.

Рецензированию подлежат только те контрольные работы если в них содержится ответ на теоретический вопрос и дано решение предложенной задачи. Преподаватель оценивает правильность и полноту ответа на вопрос и решения задачи и делает окончательное заключение о возможности получения оценки «зачтено» для студента, выполнившему контрольную работу.

ДИНАМИКА

Основные законы динамики

Закон инерции(первый закон Ньютона): если действующая на материальную точку система сил уравновешена, то точка находится в покое, либо в состоянии прямолинейного и равномерного движения.

Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона называется инерциальной системой отсчета. Инерциальную систему отсчета можно считать неподвижной.

Система отсчета, не обладающая вышеуказанными свойствами, называется неинерциальной системой отсчета. В последней точка, на которую не действуют силы, движется с ускорением, и ее скорость может меняться как по величине, так и по направлению.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона): сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы

Запись этого закона в векторной форме имеет вид:

, (1.1)

где – сила, действующая на точку, – её ускорение, m – масса точки.

Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона): две материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами равными по величине и направленными в противоположные стороны вдоль одной прямой.

Закон независимости действия сил (закон суперпозиции сил): при действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение равно сумме ускорений, которые имела бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности.

Т. е. если

то

., .

(1.2)

Примеры решения задач

Задача 1

Деталь массой m = 0,5 кг скользит вниз по лотку. Под каким углом к горизонтальной плоскости должен располагаться лоток, для того чтобы деталь двигалась с ускорением a = 2 м/с²? Угол выразить в градусах.

Решение

На основе основного уравнения динамики для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Х:

OX: .

Ответ: .

Задача 2

Тело массой m = 50 кг, подвешенное на тросе, поднимается вертикально с ускорением a = 0,5 м/с². Определить силу натяжения троса.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: . Для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Y:

OY:

Н.

Ответ: Н.

Примеры решения задач

Задача 1

Материальная точка массой m = 1,4 кг движется прямолинейно по закону . Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: .

Спроецируем это уравнение на ось Х:

OX: ; м/с; м/с²; Н.

Ответ: Н.

Задача 2

На материальную точку массой m = 200 кг, которая находится на горизонтальной поверхности, действует вертикальная подъемная сила . Определить время t, при котором начнется движение точки.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: . Для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Y:

OY:

В момент отрыва и .

; с.

Ответ: с.

Задача 3

Материальная точка M массой m = 8 кг движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса R = 18 м. Определить угол α в градусах между силой и скоростью в момент времени, когда скорость точки V = 3 м/с, а касательное ускорение м/с².

Решение

Так как сила , то вектор силы совпадает по направлению с вектором полного ускорения, а скорость при движении по окружности направляется по касательной и совпадает с касательным ускорением, то угол α – это угол между касательным и полным ускорением.

; .

Ответ: .

Задача 4

Материальная точка массой m = 18 кг движется в горизонтальной плоскости по криволинейной траектории под действием силы Н. Определить радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки V = 4 м/с, а векторы скорости и силы образуют между собой угол .

Решение

Так как сила , то вектор силы совпадает по направлению с вектором полного ускорения, а скорость при движении по криволинейной траектории направляется по касательной и совпадает с касательным ускорением, то угол – это угол между касательным и полным ускорением.

; м/с²; ;

м.

Ответ: м.

Примеры решения задач

Задача 1

Определить период свободных вертикальных колебаний груза массой m = 80 кг, который прикреплен к пружине с коэффициентом жесткости с = 2 кН/м.

Решение

Период колебаний определим по формуле: ,

где k – угловая частота свободных вертикальных колебаний:

с^-1. с.

Ответ: с.

Задача 2

Определить угловую частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 2 кг, если коэффициенты жесткости пружин с₁ = с₂ = с₃ = 300 Н/м.

Решение

Угловая частота свободных вертикальных колебаний: ,

где – эквивалентная жесткость системы пружин.

Так как система состоит из пружин соединенных и последовательно и параллельно, то определим вначале эквивалентную жесткость параллельно соединенных пружин с₁₂: Н/м;

Далее определим последовательное соединение пружин:

; ;

Н/м.

с^-1.

Ответ: с^-1.

Примеры решения задач

Задача 1

Шарик М массой m = 0.2 кг движется со скоростью V = 19.62 м/с относительно вертикальной трубки, которая на расстоянии l = 0.5 м прикреплена к вертикальному валу 1. Вал вращается с постоянной угловой скоростью рад/с. Определить переносную силу инерции шарика.

Решение

Переносная сила инерции может быть рассчитано согласно формулы: , Определим переносное ускорение точки.

Так как переносным движением является вращение трубки вокруг оси Z, то переностным движением точки является движение по окружности радиуса . При этом ускорение точки можно разложить на два ускорения ( и ), т.е.:

;

м/с²;

; м/с².

м/с²; Н.

Ответ: .

Задача 2

Штатив с математическим маятником движется по наклонной плоскости вниз с ускорением . Определить угол в положении относительного покоя шарика, если угол .

Решение

Запишем основное уравнение динамики относительного покоя .

Спроецируем это уравнение на ось Х и Y, при этом учтем, что .

OX: (1)

OY: (2)

Из уравнения (2) выразим T и подставим в уравнение (1).

; , ; , ;

т.к. .

Ответ: .

Примеры решения задач

Задача 1

Тело 1 массой m₁ = 4 кг может двигаться по горизонтальной направляющей. На какое расстояние переместится тело 1, когда однородный стержень 2 массой m₂ = 2 кг и длиной l = 0,6 м, опускаясь под действием силы тяжести, займет вертикальное положение. В начальный момент система находилась в покое.

Решение

Выберем начало системы отсчета. Расстояние от оси Y до центра масс 1 тела обозначим X₁, а до тела 2 X₂. Предположим, что при перемещении тела 2 в вертикальное положение вся система сместится вправо на расстояние согласно теореме о сохранении положения центра масс. Координата центра масс первого тела будет равна , а второго тела .

Запишем уравнение для определения центра масс всей системы для 1-го и 2-го положений.

; ;

Т.к. , ,

; ;

; м.

Ответ: м.

Задача 2

Тело 1 массой m₁ = 0,7 кг может двигаться по горизонтальной направляющей. Определить ускорение тела 1 в момент времени t = 0,25 с, если относительно него под действием внутренних сил системы движется тело 2 массой m₂ = 0,1 кг согласно уравнению .

Решение

Выберем начало системы отсчета. Расстояние от оси Y до центра масс 1 тела обозначим X₁, а до тела 2 X₂. При перемещении тела 2 в нижнее положение вся система должна сместиться вправо на расстояние согласно теоремы о сохранении центра масс. Координата центра масс первого тела будет равна , а второго тела .

Запишем уравнение для определения центра масс всей системы в 1-ом и 2-ом положениях.

; ;

т.к. ,

,

;

;

; м.

Для определения ускорения 1-го тела необходимо дважды продифференцировать полученную зависимость:

; м/с².

Ответ: м/с².

Примеры решения задач

Задача 1

Трубка вращается с угловой скоростью рад/с. Относительно трубки движется шарик М массой m = 0,2 кг со скоростью м/с. Определить модуль количества движения шарика в момент времени, когда расстояние ОМ = 0,4 м.

Решение

Количество движения определяется по формуле:

,

где – абсолютная скорость точки

, , м/с.

м/с;

Ответ: .

Задача 2

Материальная точка М массой m = 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью м/с. Определить модуль импульса равнодействующей всех сил, действующих на эту точку за время ее движения из положения 1 в положение 2.

Решение

Т.к. скорость точки в 1-ом и 2-ом положении постоянная, то модуль количества движения в 1-ом и 2-ом положении будут равны и определяются:

; .

Ответ: .

Примеры решения задач

Задача 1

По горизонтальному участку пути движутся два вагона, массы которых кг, кг и скорости м/с, м/с. Второй вагон догоняет первый и сцепляется с ним. Пренебрегая сопротивлением движению, определить скорость вагонов после сцепления.

Решение

Согласно теореме об изменении количества движения:

– импульс сил.

;

Т.ак как никаких внешних сил к системе не было приложено,

то S = 0, и

Ответ: м/с.

Понятия о моментах инерции

При поступательном движении мерой инерции твердого тела является масса. При вращательном движении инертность тела определяется распределением его массы относительно оси вращения, т.е. моментом инерции.

Момент инерции тела относительно полюса – скалярная величина, численно равная сумме произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадрат расстояния до полюса (рис. 1)

. (8.1)

Момент инерции относительно оси – скалярная величина, численно равная сумме произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадрат расстояния до оси

. (8.2)

Радиус инерции определяет то расстояние от оси до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы она имела тот же момент инерции, как и рассматриваемое тело.

. (8.3)

Для определения моментов инерции относительно параллельных осей используется теорема Гюйгенса Штейнера. Согласно ей момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между ними.

. (8.4)

Для однородных простейших симметричных тел формулы для определения моментов инерции имеются в соответствующих справочной литературе. Так, например, для однородного тела, имеющего форму диска момент инерции относительно оси диска определяется: .

Примеры решения задач

Задача 1

Определить момент инерции конструкции состоящей из однородных стержней 1 и 2, относительно оси Oz, если массы стержней m₁ = 2 кг, m₂ = 1 кг, а размеры l₁ = 0,6 м, l₂ = 0,9 м.

Решение

Стержень 1 представим в виде материальной точки. Момент инерции системы находим как сумма моментов инерции 2-х тел.

– момент инерции материальной точки;

– момент инерции однородного стержня, если ось вращения проходит через конец стержня.

Момент инерции системы:

.

Ответ: .

Примеры решения задач

Задача 1

Трубка вращается вокруг вертикальной оси Oz, ее момент инерции I_z = 0,075 кг∙м². По трубке под действие внутренних сил системы движется шарик М массой m = 0,1 кг. Когда шарик находится на оси Oz, угловая скорость ω₀ = 4 рад/с. При каком расстоянии l угловая скорость будет равна ω₁ = 3 рад/с?

Решение

Из следствия теоремы об изменении кинетического момента следует, что:

где – момент инерции системы;

– момент инерции материальной точки в момент когда точка находилась на оси вращения

– момент инерции материальной точки в момент когда точка находилась от оси вращения на расстоянии l.

Ответ:

Задача 2

По стержню АВ движется ползун С согласно закону АС = 0,2 + 1,2t. Ползун считать материальной точкой массой m = 1 кг. Момент инерции вала ОА I_z = 2,5 кг∙м². Определить угловую скорость вала в момент времени t₁ = 1 c, если начальная угловая скорость ω₀ = 10 рад/с.

Решение

Из следствия теоремы об изменении кинетического момента следует, что:

при t₀ = 0 c, при t₁ = 1 c.

Ответ:

Примеры решения задач

Задача 1

Определить радиус инерции шкива, масса которого m = 50 кг и радиус R = 0,5 м, если под действием силы натяжения троса Т = 18t он вращается вокруг оси Oz по закону φ = t³/3+3t.

Решение

Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел:

где – момент силы Т относительно оси OZ.

– кинетический момент шкива.

Ответ:

Задача 2

На какой угол повернется за 1 с маховик, масса которого m = 1,5 кг и радиус инерции i = 0,1 м, если он начинает вращаться из состояния покоя под действием главного момента внешних сил M^E_Z = 0,15 ?

Решение

Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел: .

, ,

; , , , , ,

, , , рад.

Ответ: рад.

Работа силы

В общем случае работа силы на конечном перемещении равна

. (11.1)

Данная формула является наиболее общей для вычисления работы силы на конечном перемещении. Она применяется в следующих случаях:

1) когда точка под действием силы перемещается по криволинейной траектории;

2) когда точка перемещается по прямой, но сила переменна по величине и/или по направлению.

Работа A постоянной по модулю и направлению силы , действующей на прямолинейном перемещении материальной точки, есть произведение модуля F силы, модуля s перемещения и косинуса угла a между векторами силы и перемещения.

. (11.2)

Единицей измерения работы в системе СИ является 1 Джоуль (1 Дж).

Работа силы тяжести

A = ±m×g×h (11.3)

Работа силы упругости

, (11.4)

где h – деформация пружины.

Работа момента силы

. (11.5)

Если момент , то последняя формула примет вид

(11.6)

Примеры решения задач

Задача 1

На тело действует постоянная по направлению сила . Определить работу этой силы при перемещении тела из положения с координатой x₀ = 0 в положение с координатой x₁ = 1 м.

Решение

Работа силы определяется по формуле:

, ,

, Дж.

Ответ: Дж.

Задача 2

Цилиндр, масса которого m = 1 кг, радиус r = 0,173 м, катится без скольжения. Определить суммарную работу силы тяжести и силы сопротивления качению, если ось цилиндра переместилась на расстояние s = 1 м и коэффициент трения качения м.

Решение

– работа силы тяжести

– Работа момента силы сопротивления M.

Спроецируем все силы на ось OY:

Ответ:

Примеры решения задач

Задача 1

Однородный стержень, масса которого m = 1 кг и длина АВ = 1 м, вращается вокруг оси Oz по закону φ = 2t³. Определить кинетическую энергию стержня в момент времени t = 1 c.

Решение

– Кинетическая энергия при вращательном движении.

Момент инерции стержня если ось вращении проходит через конец стержня:

Ответ:

Задача 2

Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 . Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза V = 2 м/с.

Решение

Кинетическая энергия системы состоит из суммы кинетических энергий двух тел.

Груз совершает поступательное движение, и его кинетическая энергия определится по формуле: Дж.

Цилиндр совершает вращательное движение и его кинетическая энергия определиться по формуле: ,

Так как груз движется со скоростью V, то и трос движется с такой же скоростью, соответственно угловая скорость цилиндра будет равна:

рад/с; Дж,

Дж.

Ответ: Дж.

Примеры решения задач

Задача 1

Определить скорость груза 2 в момент времени, когда он опустился вниз на расстояние s = 4 м, если массы грузов m₁ = 2 кг, m₂ = 4 кг. Система тел вначале находилась в покое.

Решение

Согласно теореме об изменении кинетической энергии: ,

Определим кинетическую энергию механической системы.

, , ,

Скорость первого тела выразим через скорость второго тела.

, , , .

Определим работу внешних сил приложенных к системе:

Работа силы тяжести первого тела будет отрицательной, так как направление силы не совпадает с направлением его перемещения. Работа силы тяжести второго тела будет положительной, так как сила совпадает с направлением перемещения s:

; ,

Дж.

; м/с.

Ответ: м/с.

Примеры решения задач

Задача 1

Однородный диск массой m и радиуса r катится без скольжения по наклонной плоскости вверх. В начальный момент времени скорость центра диска V₀ = 4 м/с. Определить путь пройденный центром С диска до остановки.

Решение

Согласно закону о сохранении полной энергии:

Однородный диск совершает плоскопараллельное движение, соответственно его кинетическая энергия будет состоять из суммы кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг центра масс.

,

где – момент инерции диска относительно оси проходящей через центр масс диска.

– угловая скорость диска относительно мгновенного центра скоростей.

Так как в конечном положении диск остановился, то его кинетическая энергия

Примем в начальный момент времени , тогда в конечном положении диск обладал потенциальной энергией полученной при подъеме тела на высоту h.

,

тогда ;

; ;

м.

Ответ: м.

Примеры решения задач

Задача 1

Груз массой m = 60 кг подвешен на нити, которая наматывается на барабан, вращающийся согласно уравнению . Определить натяжение каната, если радиус