Основное уравнение динамики. Основные задачи динамики

6.1. Основное уравнение динамики.

Основное уравнение динамики есть математическое выражение второго закона Ньютона:

. (6.1)

Записанное через импульс, оно имеет вид:

. (6.2)

Мы записали второй закон Ньютона как опытный закон. В то же время его можно представить как следствие закона сохранения импульса. В самом деле, если система изолирована (замкнута), то имеем

. (6.3)

Если система не изолирована (или рассматриваем отдельные тела внутри замкнутой системы), то

. (6.4)

Функцию координат и скорости материальной точки, определяющую производную ее импульса по времени называют силой. Поэтому основное уравнение динамики или 2-ой закон Ньютона записывается

или . (6.5)

Это уравнение - векторное, поэтому оно может быть представлено в виде системы из трех (по числу измерений пространства) скалярных уравнений. Однако, в силу принципа независимости движения по взаимно перпендикулярным направлениям (осям), может сохраняться часть проекций импульса , например, на одну из осей, тогда для других проекций записываются уравнения типа (6.3). Конкретное содержание эти уравнения получают лишь тогда, когда определена функция . Установление таких зависимостей - основная задача динамики.

Пример: сохранение импульса по оси x: , т.е. и 1-ый закон Ньютона формально становится как бы следствием 2-го закона Ньютона.

Однако выделение 1-го закона Ньютона в “самостоятельный” физический закон принципиально необходимо, поскольку он указывает такую систему отсчета (ИСО), в которой справедлива запись 2-го закона Ньютона.

Рассмотрим образованную из двух тел замкнутую систему. В такой системе выполняется закон сохранения импульса:

,

Дифференцируя по времени, получаем

, или .

Т. о., мы пришли к математическому выражению 3-го закона Ньютона.

В силу того, что в замкнутой системе , получаем важное следствие.

Сумма сил, действующих внутри замкнутой системы тел (внутренних сил) равна нулю: .

6.2. Основные задачи динамики.

Два основных типа задач динамики:

1) Известна зависимость координаты от времени , при этом находим .

2) Известна сила как функция координат и скоростей, находим .

6.3. Уравнение движения тела с переменной массой.

Во многих задачах, представляющих практический интерес, масса тела может изменяться в процессе движения.

Получим уравнение для движения тела с переменной массой, пользуясь инвариантностью законов механики, т.е. их неизменностью в различных ИСО. В качестве примера рассмотрим движение ракеты:

а) введем инерциальную систему отсчета, скорость которой совпадает со скоростью ракеты в момент времени , , т.е. в указанный момент времени ракета покоится в системе;

б) пусть в момент времени ракета имеет массу ;

в) присоединяемая (отделяемая) масса имеет скорость относительно массы ;

г) за время от до ракета приобретает в системе импульс , как за счет внешних сил , действующих со стороны окружающих тел или силового поля, так и за счет присоединяемой (отделяемой) массы :

. (6.6)

Уравнение Мещерского.

Поделив уравнение (6.6) на , получаем уравнение Мещерского:

. (6.6,а)

Уравнение Мещерского – основное уравнение динамики тела с переменной массой. Оно описывает движение тела, к которому присоединяется масса со скоростью (Внимание: знак + в уравнении (6.6,а) – присоединение массы).

Будучи полученным в ИСО, в силу принципа относительности Галилея это уравнение справедливо в любой ИСО.

Рассмотрим частные случаи уравнения Мещерского.

А) Реактивная сила: . Если - потеря массы и выброс массы происходит в сторону, противоположную направлению движения ракета ( ), то реактивная сила вызывает ускорение ракеты (вектор направлен против вектора ).

Б) Если скорость , то и уравнение Мещерского совпадает по форме с основным уравнением динамики, но только с массой, зависящей от времени, :

. (6.7)

Пример такого движения: движение цистерны, из которой выливается вода.

В) Когда (т.е. присоединяемая масса неподвижна или отделяемая масса становится неподвижной в системе отсчета, относительно которой со скоростью движется тело), тогда

, (6.8)

, (6.9)

т.е. получили основное уравнение динамики, в котором как скорость, так и масса являются функциями времени.

Пример движения: движущаяся платформа, на которую сыпется песок из неподвижного бункера.

Формула Циолковского

Рассмотрим движение ракеты в отсутствие внешних сил ( ). Тогда из (6.6) получаем

. (6.10)

Проекция скорости выбрасываемой ракетой газовой струи на направление движения ракеты равна .

Поэтому уравнение (6.10) приводится к виду

. (6.11)

Простейшим и наиболее важным является случай, когда скорость газовой струи постоянна на активном участке траектории (во время работы двигателей). Предположение о постоянстве скорости истечения газов, не затрагивая основные черты явления, сильно облегчает решение уравнения (6.11). В этом случае

. (6.12)

Пусть начальная скорость ракеты в некоторой инерциальной системе отсчета равна нулю, а её масса равна , т.е.

.

Тогда значение постоянной , определенное из начальных условий,

.

Следовательно,

,

или

. (6.13)

Последнее выражение носит название формулы Циолковского (Э.К. Циолковский 1857-1935 гг.).

Оно справедливо для нерелятивистских движений, т.е. для случаев, когда скорости и малы по сравнению со скоростью света в вакууме .

Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной скорости . Результаты вычислений, проведенных по формуле (6.13) приведены в табл.

Из таблицы видно, что относительная полезная масса ракеты быстро увеличивается с ростом скорости истечения газовой струи. В молекулярной физике показывается, что скорость газовой струи пропорциональна , где абсолютная температура газа, а его молярная масса. Поэтому газы, выбрасываемые ракетой, должны иметь возможно меньший молекулярный вес и должны быть нагреты до возможно большей температуры.

В современных ракетах на химическом топливе скорость газовой струи порядка нескольких километров с секунду и, вероятно, не превосходит . Имея это в виду, можно оценить перспективы межпланетных и межзвездных полетов ракет на химическом топливе (Сивухин, I, стр. 114-122).