Область сходимости степенного ряда
Определение. Функциональным рядом называется выражение:
,
члены которого являются функциями от .
Придавая числовое значение , мы получаем числовой ряд
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Определение. Множество тех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от . Обозначим се через .
Функциональный ряд сходится в точке x0 , если сходится числовой ряд .
Функциональный ряд сходится на интервале J, если он сходится в каждой точке этого интервала.
Специальный класс функциональных рядов составляют так называемые степенные ряды вида
= ,
где -последовательность действительных чисел, называют коэффициентами ряда.
Выясним, какой вид имеет «область сходимости» степенного ряда, тоесть множество тех значений переменной, для которых ряд сходится.
Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно в интервале , то есть при всех значениях , удовлетворяющих условию. .
Следствие.Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях .
Любой степенной ряд сходится при значении . Естьстепенныеряды, которые сходятся только при и расходятся приостальныхзначениях .
Область сходимости может состоять из всех точекоси Ох, другимисловами, ряд может сходится при всех .
Пример.Исследовать сходимость ряда .
Решение:
Ряд представляет геометрическую прогрессию со знаменателем , сходится при и расходитсяпри .
Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.
Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех , по модулю меньших , ряд абсолютно сходится, а для всех , по модулю больших , ряд расходится.
Что касается значений здесь могут быть различные возможности: ряд может сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.
Определение. Радиусом сходимостистепенного ряда называетсятакое число , что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , расходится. Интервал называется интервалом сходимости.
Условимся для рядов, расходящихся при всех , кроме . считать , а для рядов, сходящихся при всех , считать .
Как найти радиус сходимости?
Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего и следующего за ним членов ряда.
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда
Найдем отношение для этого ряда:
а затем предел его при :
Здесь множитель вынесен за знак предела, как не зависящий от и введено обозначение
,
если этот предел существует и не равен нулю. Согласно признаку Даламбера, ряд сходится, если ,. откуда . Отсюда следует, что ряд сходится, и притом абсолютно, при значениях .
Согласно томуже признаку Даламбера, ряд расходится, если или . Однако в этом случае из признака Даламбера следует, что члены ряда не стремятся к нулю. Тогда при не стремятся к нулю и члены ряда, а потому и он расходится при значениях . Следовательно, согласно определению, число – радиус сходимости степенного ряда. из соотношения получим
Пример.Найти радиус сходимости рядов:
а). б). в).
Решение:
а).
б).
Найдем отношение
т. е. ряд сходится только при и расходится при остальных значениях .
в).
Здесь
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При имеем ряд он сходится по теореме Лейбница.
При имеем ряд , который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на -1. Следовательно; областью сходимости служит полуинтервал .
Пример.Найти область сходимости степенного ряда
Решение:
Найдем радиус сходимости ряда
Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд соответственно получим
Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится а область его сходимости
Замечание. Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера. Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду в котором указанное условие выполняется.
Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд имеющий радиус сходимости ( может равняться ). Тогда каждому значению из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от на интервале сходимости. Обозначим ее через . Тогда можно записать равенство понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке из интервала сходимости равна значению функции в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд сходится к функции на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство не имеет смысла.
Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:
1) Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд а суммы их соответственно равны .
2) Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до , если , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны