Область сходимости степенного ряда

Определение. Функциональным рядом называется выражение:

Область сходимости степенного ряда - student2.ru ,

члены которого Область сходимости степенного ряда - student2.ru являются функциями от Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Придавая Область сходимости степенного ряда - student2.ru числовое значение Область сходимости степенного ряда - student2.ru , мы получаем числовой ряд

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение. Множество тех значений Область сходимости степенного ряда - student2.ru , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от Область сходимости степенного ряда - student2.ru . Обозначим се через Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Функциональный ряд сходится в точке x0 , если сходится числовой ряд .

Функциональный ряд сходится на интервале J, если он сходится в каждой точке этого интервала.

Специальный класс функциональных рядов составляют так называемые степенные ряды вида

Область сходимости степенного ряда - student2.ru = Область сходимости степенного ряда - student2.ru ,

где Область сходимости степенного ряда - student2.ru -последовательность действительных чисел, называют коэффициентами ряда.

Выясним, какой вид имеет «область сходимости» степенного ряда, тоесть множество Область сходимости степенного ряда - student2.ru тех значений переменной, для которых ряд сходится.

Теорема Абеля.Если степенной ряд Область сходимости степенного ряда - student2.ru сходится в точке Область сходимости степенного ряда - student2.ru , то он сходится и притом абсолютно в интервале Область сходимости степенного ряда - student2.ru , то есть при всех значениях Область сходимости степенного ряда - student2.ru , удовлетворяющих условию. Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Следствие.Если степенной ряд расходится при некотором значении Область сходимости степенного ряда - student2.ru , то он расходится и при всех значениях Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Любой степенной ряд сходится при значении Область сходимости степенного ряда - student2.ru . Естьстепенныеряды, которые сходятся только при Область сходимости степенного ряда - student2.ru и расходятся приостальныхзначениях Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Область сходимости может состоять из всех точекоси Ох, другимисловами, ряд может сходится при всех Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Пример.Исследовать сходимость ряда Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Решение:

Ряд Область сходимости степенного ряда - student2.ru представляет геометрическую прогрессию со знаменателем Область сходимости степенного ряда - student2.ru , сходится при Область сходимости степенного ряда - student2.ru и расходитсяпри Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число Область сходимости степенного ряда - student2.ru , что для всех Область сходимости степенного ряда - student2.ru , по модулю меньших Область сходимости степенного ряда - student2.ru Область сходимости степенного ряда - student2.ru , ряд абсолютно сходится, а для всех Область сходимости степенного ряда - student2.ru , по модулю больших Область сходимости степенного ряда - student2.ru Область сходимости степенного ряда - student2.ru , ряд расходится.

Что касается значений Область сходимости степенного ряда - student2.ru здесь могут быть различные возможности: ряд может сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.

Определение. Радиусом сходимостистепенного ряда Область сходимости степенного ряда - student2.ru называетсятакое число Область сходимости степенного ряда - student2.ru , что для всех Область сходимости степенного ряда - student2.ru , Область сходимости степенного ряда - student2.ru , степенной ряд сходится, а для всех Область сходимости степенного ряда - student2.ru , расходится. Интервал Область сходимости степенного ряда - student2.ru называется интервалом сходимости.

Условимся для рядов, расходящихся при всех Область сходимости степенного ряда - student2.ru , кроме Область сходимости степенного ряда - student2.ru . считать Область сходимости степенного ряда - student2.ru , а для рядов, сходящихся при всех Область сходимости степенного ряда - student2.ru , считать Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Как найти радиус сходимости?

Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при Область сходимости степенного ряда - student2.ru отношения абсолютных величин коэффициентов общего и следующего за ним членов ряда.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Найдем отношение Область сходимости степенного ряда - student2.ru для этого ряда:

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

а затем предел его при Область сходимости степенного ряда - student2.ru :

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Здесь множитель Область сходимости степенного ряда - student2.ru вынесен за знак предела, как не зависящий от Область сходимости степенного ряда - student2.ru и введено обозначение

Область сходимости степенного ряда - student2.ru ,

если этот предел существует и не равен нулю. Согласно признаку Даламбера, ряд сходится, если Область сходимости степенного ряда - student2.ru ,. откуда Область сходимости степенного ряда - student2.ru . Отсюда следует, что ряд сходится, и притом абсолютно, при значениях Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Согласно томуже признаку Даламбера, ряд расходится, если Область сходимости степенного ряда - student2.ru или Область сходимости степенного ряда - student2.ru . Однако в этом случае из признака Даламбера следует, что члены ряда не стремятся к нулю. Тогда при Область сходимости степенного ряда - student2.ru не стремятся к нулю и члены ряда, а потому и он расходится при значениях Область сходимости степенного ряда - student2.ru . Следовательно, согласно определению, число Область сходимости степенного ряда - student2.ru – радиус сходимости степенного ряда. из соотношения получим

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Пример.Найти радиус сходимости рядов:

а). Область сходимости степенного ряда - student2.ru б). Область сходимости степенного ряда - student2.ru в). Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Решение:

а). Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

б). Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Найдем отношение

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Область сходимости степенного ряда - student2.ru т. е. ряд сходится только при Область сходимости степенного ряда - student2.ru и расходится при остальных значениях Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

в). Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Здесь Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При Область сходимости степенного ряда - student2.ru имеем ряд Область сходимости степенного ряда - student2.ru он сходится по теореме Лейбница.

При Область сходимости степенного ряда - student2.ru имеем ряд Область сходимости степенного ряда - student2.ru , который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на -1. Следовательно; областью сходимости служит полуинтервал Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

Пример.Найти область сходимости степенного ряда

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Исследуем сходимость ряда при значениях Область сходимости степенного ряда - student2.ru . Подставив их в данный ряд соответственно получим Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Область сходимости степенного ряда - student2.ru Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при Область сходимости степенного ряда - student2.ru ). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится а область его сходимости Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Замечание. Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера. Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду в котором указанное условие выполняется.

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд Область сходимости степенного ряда - student2.ru имеющий радиус сходимости Область сходимости степенного ряда - student2.ru ( Область сходимости степенного ряда - student2.ru может равняться Область сходимости степенного ряда - student2.ru ). Тогда каждому значению Область сходимости степенного ряда - student2.ru из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от Область сходимости степенного ряда - student2.ru на интервале сходимости. Обозначим ее через Область сходимости степенного ряда - student2.ru . Тогда можно записать равенство Область сходимости степенного ряда - student2.ru понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке Область сходимости степенного ряда - student2.ru из интервала сходимости равна значению функции Область сходимости степенного ряда - student2.ru в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд сходится к функции Область сходимости степенного ряда - student2.ru на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство не имеет смысла.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

1) Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд а суммы их соответственно равны Область сходимости степенного ряда - student2.ru .

2) Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до Область сходимости степенного ряда - student2.ru , если Область сходимости степенного ряда - student2.ru , причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны

Область сходимости степенного ряда - student2.ru

Наши рекомендации