Односторонние производные функции в точке
Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.
, .
Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.
Пример: f(x) = ïxï - имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема (необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Основные правила дифференцирования
1. Производная константы равна нулю, т.е. , где С - const.
2. Производная аргумента равна 1, т.е. .
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций:
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: , где С - const.
5. Производная частного двух дифференцируемых функций:
.
при условии, что .
6. Производная сложной функции , где , где y и u – дифференцируемые функции своих аргументов, равна
Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. .
Производные основных элементарных функций
Производная логарифмической функции:
; .
Производная показательной функции:
;
Производная степенной функции:
.
Производные тригонометрических и обратных тригономнтрических функций:
Производная неявной функции получается дифференцированием обеих частей уравнения, рассматривая y как функцию от x, а затем из полученного уравнения находится :
Примеры. Найти производные функций:
1)
2)
3)
4) . Преобразуем эту функцию, раскрывая скобки: , .
5) По формуле дифференцирования сложной функции имеем , где – производная аргумента функции синус.
6) . Эта функция может быть представлена в виде . Отсюда
7) Эту функцию удобно преобразовать, пользуясь свойствами логарифмов: . Тогда .
8) . .
9) .
10. .
Производные высших порядков
Производная называется производной 1-го порядка. Однако производная сама является функцией, которая также может иметь производную.
Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.
Обозначается: и т.д.
Механический смысл 2-й производной: 2-ая производная пути во времени равна ускорению точки в момент .
Лекция 3.1.2 «Основные теоремы дифференциального начисления. Правило Лопиталя»
Учебные вопросы:
1. Основные теоремы дифференциального начисления
2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя