Односторонние производные. Класс дифференцируемых производных. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции.

Если существует конечный предел, когда приращение аргумента рассматривается с правой стороны ( ) то этот предел называется правой производной

Если существует конечный предел, когда приращение аргумента рассматривается с левой стороны ( ) то этот предел называется левой производной

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, имеющая правую(левую) производную в точке называется дифференцируемой справа(слева)

Функция, дифференцируемая в любой точке промежутка (а; b) называется дифференцируемой на этом промежутке.

Функция называется дифференцируемой на замкнутом промежутке [a;b] , если она дифференцируема на открытом промежутке (а;b), а так же слева в точке b и справа в точке а. Множество дифференцируемых функций в точке х₀ образует класс дифференцируемых функций в этой точке.

Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции:

Если функция дифф-ма на заданном промежутке, то она является непрерывной на этом промежутке.

f(x) принадл. D`(a;b) = f(x) принадл. C(a;b)

Вопрос №?

Приложения производных: эластичность функции, правило Лопиталя.

Эластичность функции:

E_x(y) =

Частные случаи:

· |E_x(y)| <1 – не эластичная функция

· |E_x(y)| =1 – существует нейтральная эластичность (при умножении аргумента на 1% значение функции изменяется на 1%)

· |E_x(y)| >1 – эластичная функция

Вопрос №?

Теорема Ферма (с доказательством)

Теорема:Если дифференцируемая на промежутке Х функция y = f(x) достигает своего наименьшего или наибольшего значения в точке х₀, то производная функция этой точки = 0.

Δy = f(x0+Δx) – f(x0) ≥ 0 => ≥ 0 (x>0) или ≤ 0 (x<0) Т.к. функция дифференцируема на промежутке Х то значение производной не зависит от направления: = f`(x0) = 0

Док-во:

y

f(x₀+Δx)

Х

0 Х₀ х₀+Δх

.

Механический и экономический смысл производной

Механический смысл:

Пусть некоторая точка движется вдоль прямой не обязательно с постоянной скоростью. Тогда пройденное расстояние измеряется по закону S = S(t)

Необходимо вычислить скорость в момент времени t₀

V(t₀) - ?

V_ср =

Естественно полагать, что предельной формой V_ср при Δt→0 является скорость в момент времени t₀

V(t₀) = = S`(t₀)

Механический смыслпроизводной – производная от закона S(t) = S

Экономический смысл:

Допустим, что объем произведенной продукции изменяется по закону U = U(t)

Необходимо вычислить производительность труда в момент Z(t₀)

За время от

t₀ до t₀+Δt

произведено продукции от

U₀ → U₀ + ΔU

тогда

Z_ср =

Z(t₀) = = U`(t₀)

Вопрос №?