Тема 7 Понятие комплексного числа
Лекция 7.1. «Понятие комплексного числа»
Учебные вопросы:
1. Комплексные числа. Алгебра комплексных чисел
2. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел
Комплексные числа. Алгебра комплексных чисел
Комплексные числа не являются числами в элементарном смысле слова, применяемыми при подсчетах и измерениях. Они составляют новый класс абстрактных математических объектов, определяемый описанными ниже свойствами.
Каждому комплексному числу 
можно поставить в соответствие единственную пару 
действительных чисел 
и 
и обратно ( 
). Действительные числа содержатся в классе комплексных чисел в качестве пар 
. Пары 
называются чисто мнимыми комплексными числами. Комплексное число 
называется мнимой единицей.
Сумма и произведение двух комплексных чисел 
и 
определяются соответственно следующим образом:
, (1.4.1)
. (1.4.2)
Два комплексных числа и равны ( 
) тогда и только тогда, когда 
и 
.
Если 
и 
действительны (т. е. 
), то определение (1.4.2) совпадает с обычным. При = = 
из определения произведения следует:
. (1.4.3)
Справедливы следующие законы сложения и умножения комплексных чисел:
a) 
, 
(переместительный);
b) 
, 
(сочетательный);
c) 
(распределительный (относительно сложения)).
Каждое комплексное число может быть записано в виде суммы 
(алгебраическая формакомплексного числа) действительного числа 
и чисто мнимого числа 
. Действительные числа 
и 
соответственно называются действительной и мнимой частью комплексного числа . Два комплексных числа и 
, имеющие одинаковые действительные и противоположные мнимые части, называются сопряженными комплексными числами.
При сложении комплексных чисел согласно (1.4.1) необходимо отдельно сложить их действительные и мнимые части. Сложение допускает обратную операцию: для любых двух комплексных чисел 
и 
можно найти такое число , что 
. Это число называется разностью чисел и и обозначается символом 
. Очевидно,
. (1.4.4)
Перемножение двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, будет согласовано с определением (1.4.2), если его производить по обычным правилам алгебры с заменой произведения 
на 
.
Пример. Даны три комплексных числа: 
, 
, 
. Вычислить 
.
◄ 
. ►
Произведение комплексного числа на сопряженное ему число всегда неотрицательное действительное число. В самом деле,
. (1.4.4)
Число называется частным двух чисел 
и и обозначается символом 
, если 
( 
). Деление комплексных чисел проводится при использовании формулы
. (1.4.5)
Пример: 
.
Произведение 
равных комплексных чисел называется -йстепенью числа и обозначается символом 
:
.
Обратная операция – извлечение корня – определяется следующим образом: число 
называется корнем -й степени из числа , если 
(обозначается символом 
, причем для 
пишут просто 
).
Равенство (1.4.3) можно записать в виде 
, и для мнимой единицы имеем:
. (1.4.6)