Комплексные числа, их геометрическое толкование. Модуль и аргумент комплексного числа

· Выражение вида z=x+iy называется комплексным числом в алгебраической форме. Здесь , x=Re z — действительная (вещественная) часть, а y=Im z — мнимая часть комплексного числа z. Точки, соответствующие действительным числам z=x, расположены на оси OX, а точки, соответствующие мнимым числам z=iy — на оси OY, которую называют мнимой осью комплексной плоскости.

g Изобразим на комплексной плоскости числа , , ,

· Число называется модулем комплексного числа . Угол j, образованный отрезком r (OM) с положительным направлением оси OX называется аргументом комплексного числа z и обозначается . Из треугольника OMA: , , (8)

причем главное значение аргумента j=argz удовлетворяет следующим условиям: или . Для определенности будем полагать .

·Комплексное число называется сопряженным числу .

g Найти модуль и аргумент для комплексных чисел, а также записать сопряженное.

Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Показательная форма записи комплексных чисел (формула Эйлера).

Подставим в выражения (8), тогда получаем . (9)

— называется тригонометрической формой комплексного числа z.

По формуле Эйлера подставляя в (9) получим формулу

(10)

которая называется показательной формой комплексного числа.

g Запишем число в тригонометрической форме. Для этого надо найти модуль и аргумент этого числа.

Комплексная точка лежит в первой четверти и .

Таким образом, в тригонометрической форме .

Рассмотрим . Для него ,

Главное значение аргумента равно 270^°+45^°=315^°.

.

Самостоятельно найдите тригонометрическую форму чисел и .

Алгебраические действия с комплексными числами.

Пусть даны два комплексных числа и .

· Суммой (разностью) двух комплексных чисел называют комплексное число

Например, .

· Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число

g Найдите произведение комплексно сопряженных чисел ,

· Отношением двух комплексных чисел называется комплексное число

g Найдите отношение на

· Произведение и отношение комплексных чисел удобно находить в тригонометрической форме. Пусть , а .Тогда

,

.

g Выполнить действие над комплексными числами , , в алгебраической и тригонометрических формах.

, , .

· Для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме используется формула, дающая n значений этого корня:

(11)

где — арифметический корень из модуля z, а n=0, 1, 2, …, (n-1).

g Вычислить .

Решение. Найдем модуль и аргумент данного числа.

, ;

поскольку x<0, y>0, то число находится во второй четверти комплексной плоскости.

, ,

По формуле (11)

, k=0, 1, 2.

Отсюда