Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru строго возрастает на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , то на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru определена функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , которая будет обратная к Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , непрерывна на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и будет строго возрастать на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Если Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru строго убывает на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , то на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru определена функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , которая будет обратная к Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , непрерывна на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и будет строго убывать на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Доказательство:

Предположим, что функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru строго возрастает на отрезке Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru непрерывной функции Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru для каждого Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru существует единственная точка Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru такая, что Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .
Следовательно для функции Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru существует обратная функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru определенная на отрезке Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и с множеством значений Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Покажем, что Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru строго возрастает на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Пусть Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru – две произвольные точки из Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , такие, что Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и прообразами этих точек будут точки Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru . Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Поскольку Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru – строго возрастающая функция, то неравенство Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru возможно тогда и только тогда, когда Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru или, что то же самое, когда Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

В силу произвольности Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru делаем вывод, что функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru – строго возрастает на множестве Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Для случая, когда Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru строго убывает теорема доказывается аналогично.

Билет №20. Непрерывность основных элементарных ф-й.

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , т. е. функцию вида

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Эта функция непрерывна на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Рациональная функция, т. е. функция вида Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru где Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru — многочлены степени Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Утверждение 2

Если Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru то Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Следствие

Первый замечательный предел

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Утверждение 3

Для всех Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru справедливо неравенство

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Утверждение 4

Функции Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru непрерывны на всем множестве Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Следствие

Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru – непрерывная при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Утверждение 5

Рассмотрим несколько функции с их графиками

1. Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru строго возрастает и непрерывна

2. Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru строго спадает и непрерывна

3. Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru строго возрастает и непрерывна

4. Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru строго спадает и непрерывна

Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно

1. Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

2. Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

3. Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

4. Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Утверждение 6

Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru – монотонна непрерывна на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru то есть

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

и тогда функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru – монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , причем Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru — нечетная функция, а Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru – четная функция.

Из определения функций Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru следует, что

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru определена и непрерывна на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru а функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru определена и непрерывна на множестве Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru с выколотой точкой Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru Обе функции нечетные.

Утверждение 8

Пусть функции Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru определены на промежутке Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru причем для всех Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru выполняется условие Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru Тогда функцию Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru определяемую формулой

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

будем называть показательно-степенной и обозначать

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Таким образом, исходя из определения

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Если Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru — функции, непрерывные на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru то функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru непрерывна на Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru как суперпозиция непрерывных функций Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru и Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Билет №21.Обратные тригонометрические функции и их свойства.

Функция arcsin

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

График функции Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru является строго возрастающей.

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru (область определения),

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru (область значений).

]Свойства функции arcsin

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru (функция является нечётной).

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Функция arccos

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

График функции Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru является строго убывающей.

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru (область определения),

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru (область значений).

[править]Свойства функции arccos

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru (функция центрально-симметрична относительно точки Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru ), является индифферентной.

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Функция arctg

График функции Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru .

Арктангенсом числа m называется такое значение угла Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , для которого Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru является строго возрастающей.

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Свойства функции arctg

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , при x > 0.

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru , при x > 0.

Функция arcctg

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

График функции y=arcctg x

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru является строго убывающей.

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

]Свойства функции arcctg

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru (график функции центрально-симметричен относительно точки Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru при любых Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

· Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Билет №22. Гиперболические ф-и и их сво-ва.

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Билет №23. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Ур-е касательной и нормали к гр ф-и. односторонние и бесконечные производные.

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

(Механический смысл производной)

Пусть задан путь Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru есть производная от пути Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru по времени Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru :

Теорема (о непрерывности обратной функции) - student2.ru

Наши рекомендации