Теорема (о непрерывности обратной функции)
Если и строго возрастает на , то на определена функция , которая будет обратная к , непрерывна на и будет строго возрастать на .
Если и строго убывает на , то на определена функция , которая будет обратная к , непрерывна на и будет строго убывать на .
Доказательство:
Предположим, что функция строго возрастает на отрезке .
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений непрерывной функции тоже есть отрезок.
В силу строгого возрастания функции для каждого существует единственная точка такая, что .
Следовательно для функции существует обратная функция определенная на отрезке и с множеством значений .
Покажем, что строго возрастает на .
Пусть и – две произвольные точки из , такие, что и прообразами этих точек будут точки и . и .
Поскольку – строго возрастающая функция, то неравенство возможно тогда и только тогда, когда или, что то же самое, когда .
В силу произвольности делаем вывод, что функция – строго возрастает на множестве .
Для случая, когда строго убывает теорема доказывается аналогично.
Билет №20. Непрерывность основных элементарных ф-й.
Утверждение 1
Рассмотрим многочлен степени , т. е. функцию вида
Эта функция непрерывна на
Рациональная функция, т. е. функция вида где — многочлены степени и соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена
Утверждение 2
Если и то
Следствие
Первый замечательный предел
Утверждение 3
Для всех справедливо неравенство
Утверждение 4
Функции и непрерывны на всем множестве
Следствие
Функция – непрерывная при
Утверждение 5
Рассмотрим несколько функции с их графиками
1. строго возрастает и непрерывна
2. строго спадает и непрерывна
3. строго возрастает и непрерывна
4. строго спадает и непрерывна
Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно
1.
2.
3.
4.
Утверждение 6
Функция – монотонна непрерывна на то есть
и тогда функция – монотонна и непрерывна(как обратная)
Утверждение 7
Функции, заданные формулами
называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.
Эти функции определены и непрерывны на , причем — нечетная функция, а – четная функция.
Из определения функций и следует, что
По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами
Функция определена и непрерывна на а функция определена и непрерывна на множестве с выколотой точкой Обе функции нечетные.
Утверждение 8
Пусть функции и определены на промежутке причем для всех выполняется условие Тогда функцию определяемую формулой
будем называть показательно-степенной и обозначать
Таким образом, исходя из определения
Если — функции, непрерывные на то функция непрерывна на как суперпозиция непрерывных функций и .
Билет №21.Обратные тригонометрические функции и их свойства.
Функция arcsin
График функции .
Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.
· при
· при
· (область определения),
· (область значений).
]Свойства функции arcsin
· (функция является нечётной).
· при .
· при
· при
·
·
·
Функция arccos
График функции .
Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.
· при
· при
· (область определения),
· (область значений).
[править]Свойства функции arccos
· (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.
· при
· при
·
·
·
·
·
Функция arctg
График функции .
Арктангенсом числа m называется такое значение угла , для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.
· при
· при
·
·
Свойства функции arctg
·
· , при x > 0.
· , при x > 0.
Функция arcctg
График функции y=arcctg x
Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.
· при
· при
·
·
]Свойства функции arcctg
· (график функции центрально-симметричен относительно точки
· при любых
·
Билет №22. Гиперболические ф-и и их сво-ва.
Билет №23. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Ур-е касательной и нормали к гр ф-и. односторонние и бесконечные производные.
(Механический смысл производной)
Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :