Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной

Вопрос 1. Определение двойных и повторных пределов. Теорема о связи между двойными и повторными пределами.

Определение. Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - функция двух независимых переменных, Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и точка Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - предельная точка множества Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда 1) В смысле метрики пространства Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru при Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - это двойной предел, 2) Если при Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru существует Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и существует Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , то предел Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru называется повторным пределом. Аналогично предел Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

Теорема (о связи между двойным и повторным пределом). Пусть для Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru выполнены условия: 1) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - предельная точка множества Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . 2) При Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru существует конечный предел Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда существует повторный предел Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и он равен двойному. Доказательство. Пусть для определенности предел двойной существует и он конечный Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - очевидно, что неравенство выполняется если одновременно Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Из того, что существует конечный предел Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru при Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Выберем Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Составим разность Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной.

Определение. Пусть функция Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда 1) Функция Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru непрерывная в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru называется непрерывной по совокупности переменных в этой точке если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . 2) Функция Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru непрерывная в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru называется непрерывной по переменной Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru в этой точке если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Другими словами функция Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru непрерывна по переменной Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru если она непрерывна по этой переменной как функция одной переменной при фиксированных других переменных, равных координатам.

Теорема (о связи непрерывности по совокупности и в отдельности по каждой переменной). Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru непрерывна в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru по совокупности переменных, то она непрерывна в этой точке в частности по каждой переменной; обратное утверждение в общем случае неверно, т.е. существует функция непрерывная в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru по каждой переменной, но разрывная по совокупности переменных. Доказательство. Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru непрерывна в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , т.е. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , положим Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда с учетом того, что Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и |Δf(x0)|=Δif(x0) имеем Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Второе докажем при помощи примера. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru данная функция непрерывна в точке (0,0) в отдельности по каждой переменной: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - непрерывна, Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - непрерывна. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru при Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru равен Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - функция не непрерывна, т.к. предел не равен значению функции в этой точке.

Вопрос 3. Определение частной производной. Определение дифференцируемой функции и градиента. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Определение: Пусть функция Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - функция k переменных Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ; Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , положим Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , если предел этого отношения существует, то его называют частной производной функции Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

Определение. Пусть функция Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - функция k переменных дифференцируема в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ; Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , где Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru при Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - градиент функции Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (обозначается Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ).

Теорема (о непрерывности дифференцируемой функции). Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru дифференцируема в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда эта функция непрерывна в этой точке, обратное утверждение не верно. Доказательство. 1) Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru дифференцируема в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , непрерывна в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . 2) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru непрерывна в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , но не дифференцируема в этой точке, т.к. ее приращ-е Δ Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru не м. быть записано в виде Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Вопрос 4. Теорема о необходимом условии дифференцируемости функции. Следствие (связь с градиентом)

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru дифференцируема в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда в этой точке существуют все частные производные и они равны соответственно координатам Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , обратное утверждение в общем случае не верно. Доказательство. Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru дифференцируема в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , полагая Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Следствие (связь с градиентом). Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru дифференцируема в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

f(x,y)=
вопрос5 Пример функции, имеющей частные производные, но не дифференцируемой в точке.

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , x2+y2≠0

0, x2+y2=0

Очевидно, что Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Но эта функция не дифф-ма по совокупности в т (0;0). Если бы она была дифф-ма, то ее приращ-е в этой точке можно было бы записать как Δf(0,0) = 0*Δx + 0*Δy + α(Δx, Δy) Δx + β(Δx, Δy) Δy = α(Δx, Δy) Δx + β(Δx, Δy) Δy, (где α(Δx, Δy) и β(Δx, Δy) стремятся к 0 когда Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru 0). Однако, это не так. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru + 0 = (т.к. x0=0; y0=0) = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru + Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru + Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Т.е. в нашем случае в роли α выступает Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , а в роли β - Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и эти выражения не определены при Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru 0. Значит, приращ-е нашей функции в т (0;0) нельзя представить в виде, который дает дифференциируемость ф-ции в этой точке по опр-ю => эта функция в т. (0;0) не дифф-ма, хотя имеет там частные производные по обеим переменным.

(этот пример иллюстрирует невыполнение утверждения, обратного к теореме о необходимом условии дифференцируемости функции).

PS Доказательство пункта 5 мое – за правильность не ручаюсь. Подпись: Fil McArov

Достаточное условие дифф-ти ф-ции многих незавю переменных.ЕслиВопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ruимеет частные произв-е по всем переменным в окрест. точки x0 Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru G, причем все эти произв-е непрерывны в самой точке, то функция дифф-ма в этой точке. Док-воДля простоты док-во для 2х пер-х. Для многих – аналогично. f:(GcR2)->R; f=f(x,y); x0=(x0,y0); Тогда Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . сгруппируем 1 и 3, 2 и 4 слагаемые, и каждую из полученных разностей рассмотрим как ф-цию одного переменного и применим трм Лагранжа в форме о конечных приращ-ях. получаем, что существуют такие действит-е ξ из (x0; x0+Δx) и η из (y0; y0+Δy), что Δf(x0) = fx’(ξ, y0+Δy)Δx + fy’(x0, η)Δy. В силу непр-ти fx’(ξ, y0+Δy) и fy’(x0, η) можно записать: fx’(ξ, y0+Δy) = fх’(x0, y0) + α(Δx, Δy), где

α(Δx,Δy)->0 при Δx–>0,Δy–>0, и fy’(x0, η) = fy’(x0, y0) + β(Δx,Δy), где β->0, Δx–>0,Δy–>0. Подставим: fх’(x0, y0)Δx + fy’(x0, y0)Δy + α(Δx,Δy) + β(Δx,Δy) => ф-ция здесь дифф-ма по определению.

Трм. о производной сложной ф-ции.Если вып-ся 1)xi = xi(t1...tm), i=1...k и ф-ция дифф-ма в t0 из Rm.2) f(x1...xk) дифф-ма в x0 из G c Rk,то сложная ф-ция f(x(t)) дифф-ма в t0 из Rm и имеет место равенство: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru j=1..m; Док-во:Δxi(t0) = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru BijΔtj + Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru βijΔtjij->0, Δt->0) ; Δf(x0) = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru AiΔxi + Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru αiΔxii->0, Δx->0); Тогда Δf(x(t0)) = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Ai ( Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru BijΔtj + Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru βijΔtj) + Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru αi( Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru BijΔtj + Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru βijΔtj) = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ( Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru AiBij)Δtj + Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ( Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (AiBij + Bijαi + αiβij)Δtj = {полагаем cj= Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru AiBij ; γj= Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (AiBij + Bijαi + αiβij) } = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru cjΔtj + Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru γjΔtj и γj->0 при Δt->0, а это значит, что f(x(t)) дифф-ма в t0

Определение 1го дифф-ла. Трм об инвариантности формы 1го дифф-ла.Если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ruдифф-ма в x0 Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru G, т.е. ее полное приращ-е зап-ся так: Δf(x0) = AΔx + α(Δx)*Δx, где α->0 при Δx->0. Тогда AΔx =df(x0) = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru называется полным дифф-лом функции f(x) в точке x0 из G. А величина AiΔxi = di f(x0) – частным дифф-лом в точке по перем-й xi. Т.к. по усл-ю x1...xk – независ перем-е, то их приращ-я Δx1...Δxk равны соответственно dx1...dxk В силу необх-го усл-я дифф-ти ф-ции f(x) в т.x0 имеем, что в-р Aбудет иметь коорд. Ai= Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и формулы полного и частноо дифф-ла перепишутся как 1)df(x0) = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru 2) di f(x0)= Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ТРМпусть 1)xi=xi(t1...tm) – дифф-ма в т. t0 Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Rm. 2)f(x) дифф-ма в соотв. x0=x(t0) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru G c Rk. Тогда форма первого дифференциала df(x(t0)) инвариантна. df(x(t0))= Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru df(x0). Док-во:df(x(t0)) = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru )= Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

Определение производной по направлению, трм о связи произв. по напр-ю и градиента.Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ruи x0 Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru G и пусть в Rk задано направление e, ||e||=1. Тогда lim Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (t->0) будем называть производной по напр-ю eв т. x0. lim Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (t->0) = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ; (замеч-е. из этого опр-я следует, что Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = lim Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (t->0) ) ТРМЕсли Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ruдифф-ма в т.x0 Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru G то прозв-я от этой ф-ции по любому напр-ю в точке x0 существует и вычисл-ся по формуле Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = (grad f(x0), e). Док-во: e= (cosα1, cosα2 ... αk). f(x) дифф-ма в x0 => f(x)-f(x0) = AΔx +α(Δx)Δx; A =gradf(x0) = ( Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ) при Δx->0; тогда полагая в этой формуле x = x0 + te, получаем, что f(x0+te)-f(x0) = Ate + αte. Тогда limΔx->0( Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = limt->0 Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = (A,e) = (grad(f(x0)), e).

Угол м\у векторами в многомер. векторном простр-ве, трм о коллинеар и ортогонал вект.Опр: x лежит в Rnk, y лежит в Rk, x = (x1,x2 ... xk), y = (y1, y2 .. yk); |(x,y)|≤||x||*||y||; x≠0; y≠0, 0≤ω≤Π; cosω = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Тогда число ω – угол между векторами x и y. Опр2 Если существует λ≠0 такая, что x= λy,то векторы x и y называются коллинеарными, а если (x,y)=0, то векторы наз-ся ортогональными. ТРМПусть x и y – ненулевые из Rk. Тогда если 1) ω=0; ω= Π – вектора коллинеарны, 2) ω=Π\2 – ортогональны. Док-во 1)ω=0 –> (x,y) = ||x||*||y||; x=λy; (x- λy; x-λy) = (x,x) - 2 λ(x,y) + λ2(y,y) = ||x||2 - 2λ||x||*||y|| + λ2||y||2; cos0=1 и (x- λy; x-λy)=0, тогда λ = +- ||x|| / ||y|| 2)очевидно следует из скалярного произведения.

Четыре свойства градиента функции многих переменных.Выясним смысл градиента функции многих переменных. Для этого воспользуемся формулой выч-я произв-й по напр-ю через градиент. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , где ω = gradf(x0)^e;т.о. имеем: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Свойства: 1)В направлении вектора grad f(x0), произв-я по напр-ю принимает наибольшее значение, равное ||gradf(x0)||, а в противоположном – наименьшее, равное -||gradf(x0)||. эти направления называются соответственно напр-ями нискорейшего подьема и наискорю спуска функции f(x) в x0. 2)По всем направлениям, ортогональным к напр-ю градиента, Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru =0, а по всем напр-ям, отличным от ортогонального принимает промежуточные значения, т.е. -||gradf(x0)||≤ Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ≤||gradf(x0)||. 3) grad f(x0), (x0 из R) есть вектор, направленный из точки x0 в сторону наискорейшего возрастания функции и по величине равный производной от функции f(x) в этой точке по этому направлению.

12. Частную производную n-ного порядка от ф-ции Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru по переменным xi1, xi2 ,…,xin (i=1,2,…k) определим по индукции с помощью след. соотношения:

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , если все индексы совпадают (i1,i2,…,in=i), то будем обозначать: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , если же не все индексы совпадают, то такую производную будем называть смешанной.

Ф-ция Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru называется n раз дифференцируемой в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , если все её частные производные (n-1)-ого порядка дифференцируемы в этой точке.

Теорема о равенстве смешанных производных. Пусть f(x,y)(GCR2)→R дифференцируема в любой точке из некоторой окр-ти точки (x0y0), целиком принадлежащей G и дважды дифф-ма в самой точке (x0y0), тогда смешанные производные в этой точке равны.

Доказательство. Рассмотрим частные приращения ф-ции f(xy) в точке (xy):

xf(x0y0)=f(x0+∆x,y0)-f(x0y0) ; ∆yf(x0y0)=f(x0,y0+∆y)-f(x0y0), и составим приращения от приращений: ∆y(∆xf(x0y0))=∆xf(x0,y0+∆y)-∆xf(x0y0)=

=f(x0+∆x,y0+∆y)-f(x0,y0+∆y)-f(x0+∆x,y0)+f(x0y0), аналогично для ∆x(∆yf(x0y0): ∆x(∆yf(x0y0))=∆yf(x0+∆x,y0)-∆yf(x0y0)=

=f(x0+∆x,y0+∆y)-f(x0+∆x,y0)-f(x0,y0+∆y)+f(x0y0).

В силу дифференцируемости f′(xy) в точке (x0y0) получим, что

y(∆xf′(x0y0))=(f′x(x0,y0+∆y)-f′x(x0y0))∆x=(f′′xy(x0y0)∆y+β1(∆y)∆y)∆x=(f′′xy(x0y0)+β1(∆y))∆y∆x где β1(∆y)→0, при ∆y→0, аналогично получим, что:

yf(xy)=f′y(xy)∆y+α1(∆y)∆y, ∆xyf(x0y0)=(f″yx(x0y0)+α2(∆x))∆x∆y (α1(∆x)→0 при ∆x→0)

т.к. ∆xyf(x0y0)=∆yxf(x0y0), то f′′xy(x0y0)+β1(∆y)=f″yx(x0y0)+α2(∆x)), переходя к пределу при ∆x→0 ∆y→0 в последнем равенстве, мы получаем равенство смешанных производных.

13.Пусть дана симметричная квадратная матрица КхК: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , тогда ф-ция Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru называется квадратичной формой, порожденной симметрической матрицей А Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Вычислим: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru В силу симметричности имеем Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Лемма о представлении квадратичной формы. Если коэффициенты квадр. формы Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (1)удовлетворяют условию aij=ai*aj , то она представима в виде полного квадрата суммы Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Доказательство. Методом мат. индукции при к=2 (1)=a21x21+a1a2x1x2+a2a1x2x1+a22x22=(a1x1+a2x2)2

Предположим, что верно для к>2, проверим для к+1: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

14.Пусть ф-ция f:(GCRk)→R (n-1) раз дифференцируема некоторой окрестности S(εx0) и n раз дифференцируема в самой точке x0, тогда дифференциал n-ного порядка Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Определим дифференциальный оператор Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru по формуле Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Произведением операторов Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru назовём оператор Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ; Линейной комбинацией операторов Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru назовём оператор, действующий по следующей формуле: (aDijp+bDrsq)f=aDijpf+bDrsqf

Теорема о представлении второго дифференциала ф-ции нескольких независимых переменныхПусть f:(GCRk)→R Пусть d2f(x)определен в точке x0, то он может быть вычислен по формуле: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Доказательство. ∆xi=dxi т.к x независимая переменная

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru Последнее выражение в формуле есть квадратичная форма Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , учитывая, что для дважды дифференцируемой ф-ции выполнено равенство смешанных производных, а также воспользовавшись леммой о представлении квадратичной формы, получим Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Теорема о нарушении формы n-ного дифф-ла. n≥2Приn≥2 форма n-ного дифф-ла зависит от того, являются ли xi (i=1..k) независим. переменными или n раз дифференциируемыми функциями от своих переменных. Д-во:Докажем, что форма нарушится для n=2 и этого достаточно для док-ва всей трм. Пусть xi (i=1..k) – дважды дифф-е функции. тогда d2xi вообще говоря не равны нулю и форма второго дифф-ла такова: d2f(x) = d(df(x))= Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Но здесь d(dxi)=d2xi≠0, а первое слагаемое представляет из себя второй дифф-л f(x) когда xi-незав.перем-е. Таким образом видно, что форма уже второго дифф-ла нарушается => нарушается и форма более высоких дифф-лов. Трм.доказ.

№16.

Определение:

Пусть f(x) = f(x1, x2… xk): (GÌRk)®R, тогда f(x) наз.

1. Возрастающей (убывающей) в направлении l на отрезке в области G, коллинеарном с l, если для любых точек x1, x2, лежащих на этом отрезке и таких, что x2 следует за x1 в направлении l, выполняется f(x2)>f(x1) (f(x2)<f(x1))

2. Возрастающей (убывающей) в т.x°ÎG в направлении l, если можно указать отрезок в G, коллинеарном l, с началом в т. x° и такой, что f(x) возрастает (убывает) на этом отрезке в направлении l.

Теорема.

О монотонности и знакопостоянстве функции.

f:(GÌRk)®R – диф-мая в G, тогда

1. Если во всех точках отрезка ÌG и коллинеарного с l производная по напрвлению Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , то функция f(x) – возрастает на этом отрезке в направлении l

2. Если во всех точках отрезка ÌG и коллинеарного с l производная по напрвлению Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , то функция f(x) - убывает на этом отрезке в направлении l

3. Если во всех точках области G Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , то f(x)=const

Доказательство:

1) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , x1, x2Î отрезку, x2 следует за x1 в направлении l, 0£t£1

F(t)=f(x1+t(x2-x1))=f(x1+tl||x2-x1||, Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

F(t) на сегменте [0;1] удовлетворяет всем условиям т. Лагранжа: F(t) – непрерывна как сложная функция;

"tÎ(0,1) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

По т. Лагранжа $eÎ(0,1): f(x2)-f(x1)=F(1)-F(0)=F’t(e)(1-0)=F’t(e)=

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Т.к. оба множителя положительны, значит, f(x2)>f(x1)

2)доказывается аналогично

3)если x1, x2ÎG можно соединить отрезком, целиком принадлежащим G, то

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (т.к. первый множитель равен 0), значит, f(x1)=f(x2)

Соединим их ломаной линией ÌG, в вершинах ломаной значения равны, значит, функция постоянная.

№17.

Теорема Тейлора.

S(e,x°)=(xÎRk, ||x- x°||<e) - e окрестность т. x° в Rk

f: S(e,x°)®R и является (m+1) раз диф-мой функцией в этой окрестности, тогда Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (1), xÎS(e,x°)

Доказательство:

Dx такое, что т.x°+DxÎS(e,x°) и соединяет x° и x°+Dx отрезком x=x°+tDx, 0£t£1

F(t)=f(x°+tDx), тогда

F(1)-F(0)=f(x°+tDx)-f(x°)=Df(x°)

По условию f(x) (m+1) раз диф-мая функция Þ Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ÞF(t) удовлетворяет всем условиям т. Тейлора для функции одного переменного, т.к. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru существует при 0£t£1, тогда для неё можно записать формулу Тейлора в окрестности t°Î[0,1]

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (2)

q между t и t°

Т.к. t – независимая переменная, то Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

t=1, t°=0

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (2)

В силу инвариантности формы n – ого диф-ала при линейной замене мы получаем

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , x=x°+qx

dt=Dt=1-0=1

xi=x°i+tDxi

dxi=Dx

Подставляя это в (2), мы получаем окончательную формулу.

18.Определение экстремума вещественнозначной функции. Теорема о необходимости условия экстремума.

Def.1.:Пусть (X,d) – метрическое пространство, и f:(EÌX)®R, тогда

1)будем говорить, что функция f имеет локальный минимум в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ÎE, если

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

2)будем говорить, что функция f имеет локальный максимум в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ÎE, если

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Трм.1.:(Необходимое условие экстремума)

Пусть f:(GÌRk)®R и имеет локальный минимум/максимум в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ÎG, а также дифференцируема в этой точке. Тогда необходимо выполняются следующие условия:

1) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , где Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru – любое направление в Rk;

2)grad(f( Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ))=0

3) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , где Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

4) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Док-во: 1)Пусть f(x) – дифференцируема в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ÎG®в этой точке существует Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

Предположим, для определённости пусть f имеет в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru локальный минимум. (1). Тогда для достаточно малых вещественных значений tÎR точка Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (окрестности Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ). Тогда по определению производной по направлению имеем:

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , ч.т.д.

2)Т.к. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , а Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ® из того, что Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - единичный вектор

® Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

3)Т.к. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ®координаты вектора координаты вектора градиента равны

нулю, а эти координаты есть частные производные по всем направлениям ® Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

4)Т.к. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Эквивалентность всех этих четырёх определений очевидна.

19.Определение положительно и отрицательно определённой квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Лемма о знакопеременной квадратичной форме.

Def. 1.:Квадратичная форма Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru называется

1)положительно определённой, если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

2)отрицательно определённой, если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

3)знакопеременной, если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , что Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , и Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Трм. 1.:(Критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичной формы)

Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - симметричная квадратная матрица размерности k*k, порождающая квадратичную форму Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и A1=a11, Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , … , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - главные окаймляющие миноры матрицы. Тогда, для того, чтобы Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru была положительно/отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы A1>0, A2>0,…,Ak>0 / A1<0, A2>0,…,sgn(Ak)=(-1)k. (WITHOUT PROVE!)

Лемма 1.:(Оценки знакоопределённости квадратичной формы)

Если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru положительно определена, то ® Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru отрицательно определена ® Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

Док-во: 1)Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru положительно определена, и Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - единичный вектор из Rk, т.е.

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Но тогда Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru есть непрерывная функция относительно переменных e1,e2,…,ek, определённая на сфере Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Поскольку эта сфера есть замкнутое и ограниченное множество, то в силу второй теоремы Вейерштрассе функция Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru достигает своей точной верхней и нижней границ на сфере: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Но тогда для Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вернёмся: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

2) Док-во мое: все то же, но: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . (берем –M, т.к. M>0 ) Но тогда для Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Вернёмся: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

Замечание: Если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , то во всех нер-вах будет просто равенство Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

20. Теорема о достаточном условии экстремума функции многих переменных.

Трм. 1.:(Достаточное условие экстремума)

Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - дважды дифференцируемая функция в некоторой Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , и x0 – точка возможного экстремума функции, а также в этой точке функция имеет непрерывные вторые производные. Тогда:

1)Если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru представляет собой положительно определённую квадратичную форму от дифференциалов независимых переменных Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , то функция имеет локальный минимум в x0.

2)Если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru представляет собой отрицательно определённую квадратичную форму от дифференциалов независимых переменных, то функция имеет локальный максимум в x0.

3) Если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru представляет собой знакоопределённую квадратичную форму, то x0 не является экстремумом.

Замечание: Т.к. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru дважды дифференцируема в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , то для неё справедлива

формула Тейлора для случая, когда m=1; Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (1), при этом Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru при Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . А т.к. частные производные Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (где Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru при Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ) и т.к. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - точка возможного экстремума, а функция дважды дифференцируема, то df(x0)=0 и равенство (1) перепишется в виде: Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (принимая, что Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru )

Док-во: 1)Если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru положительно определённая квадратичная форма от Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , то

согласно лемме 1 Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , где m>0. Таким образом,

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , и для достаточно малых ||Dx||<<1 эта разность

больше нуля, значит это точка локального минимума.

2)Если Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - отрицательно определённая квадратичная форма, ® (по лемме 1)

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , M>0, тогда

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ® Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru точка локального

максимума.

3)Пусть Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - приращение аргумента x в точке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - при котором квадратичная форма Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (2), а Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - приращение в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , при котором

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (3).

Тогда из (2) можно сказать, что Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , то Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Будем уменьшать Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , чтобы направление вектора Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru сохранилось ® Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru для таких Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , уменьшающихся по норме, Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (4).

Аналогично рассмотрим случай (3) и получим, что Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru (5). Тогда получаем, что для Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , одновременно выполняется неравенства (4) и (5) ® локального экстремума нет!!!!!!

21.Определение неявной функции одного переменного. Теорема о существовании неявной функции одного переменного.

Def. 1.:Функция y=f(x), заданная уравнением F(x,y)=0, где (x,y)ÎGÌRk называется неявной функцией.

Трм. 1.:(О существовании неявной функции одного переменного)

Пусть GÌRk – область плоскости R2 (открытое связное множество) и функция F(x,y):G®R. Тогда если выполняются условия:

1)F(x,y)ÌC(G)

2)F(x0,y0)=0, где x0,y0 – некоторые фиксированные точки области G.

3)При фиксированном x, как функция переменной, y монотонно возрастает/убывает;

тогда уравнение F(x,y)=0:

1)в некоторой окрестности Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru определяет функцию как однозначную функцию от x;

2)f(x0)=y0;

3)y=f(x) непрерывна для Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru .

Док-во: Т.к. G – открытое множество, а M0 – его внутренняя точка, то её можно

Окружить прямоугольником, целиком ÎG.

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Зафиксируем x=x0 и будем перемещаться по прямой A0B0. Тогда F(x,y) в силу монотонности будет F(B0)>0, B0(x0,y0+D`) и F(A0)<0, A0(x0,y0-D`). Проведём горизонтальные прямые через точки A0,B0: B1B2 и A1A2. На этих прямых определены две функции переменной x: F(x0,y0-D`) и F(x0,y0+D`). По условию теоремы они непрерывны по x ® $ окрестность (x0-d,x0+d), где 0<d0<D, где обе функции сохраняют знак.

Зафиксируем теперь x из окрестности - Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru - и рассмотрим функцию F(x,y) на отрезке Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru . Т.к. F(x,y) непрерывна по y на [y0-D`,y0+D`] n принимает в Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru значения разных знаков ® по первой теореме Коши для непрерывных функций Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru такое, что Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и в силу монотонности F(x,y) по y, эта точка – единственная. Т.о. $ однозначная функция y=f(x)!!!

Теперь докажем, что неявная функция y=f(x) непрерывна в любой точке из

интервала xÎ(x0-d,x0+d). Т.к. для любой точки из этого интервала выполнены те же условия, что и для x0 ® достаточно доказать непрерывность в x0. В силу произвольности D`, возьмём D`=e, а d=d(e)=d0. Тогда для всех |x-x0|<??? Видно, что |f(x)-f(x0)|<D`=e.

22. Теорема о дифференцируемости неявной функции)

Трм. 1.:(О существовании производной неявной функции)

Пусть F(x,y):(G ÌR2)®R удовлетворяет условиям:

1)F(x,y) =0 – дифференцируема в области G.

2) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru непрерывна в области G (по совокупности)

3) Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , где (x0,y0)ÎG,

Тогда выполняются все утверждения теоремы существовании непрерывности неявной функции, и кроме того y=f(x) – дифференцируема в S(d,M0)ÌG, M0(x0,y0).

Док-во: Т.к. частная производная по y непрерывна в точке (x0,y0) и неравна в этой точке 0, то $S(d,M0)ÌG, в которой Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и принимает определённый знак ® функция

F(x,y) монотонна по y. Но тогда выполняются все условия трм. 1. (О

существовании непрерывной неявной функции). Для доказательства

дифференцируемости функции y=f(x) придадим приращение Dx аргументу x. В

силу непрерывности бесконечно малое приращение Dx будет соответствовать бесконечно малому Dy. При этом (x+Dx,y+Dy)ÎS(d,M0). В силу условий дифференцируемости точка (x+Dx,y+Dy) будет удовлетворять пункту 1, т.е. при подстановке тоже будет давать 0. Найдём DF(x,y):

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ®

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , (1) при этом Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru , т.к. Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru и не зависит от x. Выберем Dx достаточно малым, чтобы β®0.

Перейдём в (1) к пределу при Dx®0:

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru ® функция дифференцируема в некоторой области G ® дифференцируема и в точке x0, ч.т.д.

Определение неявной функции многих переменных. Теорема о существовании непрерывности и дифференцируемости неявной функции многих переменных.

Опред: Функция y=f(x1,x2…xk) заданная уравнением F(x;y), где (x,y) Î G Ì Rk*R=Rk+1 называется неявной функцией к – переменных.

Теор (О существовании непрерывной и дифференцируемой неявной функции многих переменных)

Пусть G Î Rk+1 F(x;y):GàR и удовлетворяет :

F(x;y)=0 дифференцируема в области G

2. ∂F(x;y)/∂y – непрерывна в области G

в точке х0 ∂F(x0;y0)/∂y ¹ 0 (x0;y0) Î G

F(x0;y0)º0

Тогда $ окрестность S ( d, M0), M0(x0,y0)=M0(x10, x20…xk0, y0) Î G

В этой окрестности уравнение F(x;y)=0 определяет однозначную непрерывную неявную функцию к- переменных.

F(x;y)=0 y=f(x)=f(x1,x2…xk)

y=f(x0)

y=f(x) дифференцируема в окрестности S ( d, M0) по всем переменным

определение функциональных определителей

опред: Пусть даны n-функций от n-переменных yi=fi(x1,x2…xn) y=1…n которые определены в некоторой области G из Rn и имеют в этой области частные производные по всем переменным тогда определитель:

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

называется функциональным определителем (определителем Якоби) или якобианом

Теор(Теорема об умножении якобианов)

Пусть xi=xi(t) i=1…n – дифференцируемые функции в точке t0ÎRn и функции yi=yi(x) i=1…n дифференцируемые функции в точке x0=x(t0). Тогда якобиан системы сложных функций yi=yi(x(t)) i=1…n может быть вычислен по следующей формуле:

D(y)/D(t)=D(y)/D(x)*D(x)D(t)

Док-во: Используя правило умножения определителей кводратных матриц An*n и Bn*n det An*n n¹0 det Bn*n n¹0 det(A*B)=det(A)*det(B) получаем

D(y)/D(x)*D(x)D(t)= Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru * Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru =

Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru = Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Если система дифференциальных функций yi=fi(x1,x2…xn) y=1…n Разрешена относительно x1 x2…xn и они тоже дифференцируемы тогда функциональные определитель

D(y)/D(x)*D(x)D(t)=1

D(y)D(y)= Вопрос 2. Определение непрерывности по совокупности и в отдельности по каждому переменному. Теорема о связи непрерывности по совокупности и по отдельной переменной - student2.ru

Определение системы неявных функций. Терема о существовании непрерывной и дифференцируемой системы неявных функций

Опред: yi=fi(x) i=1…m x Î Rk заданная системой уравнений F(x, y1, y2,…ym)=0; j=1…n, (x,y)ÌG Rk*Rm=Rk+m Называется системой неявных функций многих переменных

Теорема (о существовании системы неявных функций)

Пусть Fi(x,y)(i=1…m) : (GÌRk*Rm)àR и удовлетворяет условиям:

F(x,y)- дифференцируема в G

∂Fi(x,y)/∂y ij=1…m – непрерывны в G

∂Fi(x0,y0)/∂yj¹0

Fi(x0,y0)º0

Наши рекомендации