Теорема непрерывности для характеристических функций.

Для того, чтобы

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

необходимо и достаточно, чтобы для всех t

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

Доказательство.

Пусть
Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru
Тогда используя ограниченность, непрерывность по x для любого t функции Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru и теорему Хелли-Брея получаем
Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

Доказательство необходимости завершено.

Пусть теперь
Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru
Тогда, используя теорему о выборе, мы можем извлечь из любой подпоследовательности последовательности функций распределения Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru случайных величин Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru , сходящуюся к некоторой функции Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru подпоследовательность Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru , при этом соответствующая подпоследовательность характеристических функций Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru как подпоследовательность сходящейся последовательности характеристических функций сходится к Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru . Покажем, что функция Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru является функцией распределения.

Полагая

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

и применяя к паре функций Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru , Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru равенство Парсеваля
Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

получаем, что, с одной стороны, для любого x
Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

С другой стороны, для любых N, n и х

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

Таким образом:

1.Функция Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru является собственной функцией распределения

2.Из любой подпоследовательности последовательности функций распределения Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru случайных величин Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru можно извлечь сходящуюся к Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru подпоследовательность Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

3.Характеристическая функция Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru совпадает с Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

·

Используя теорему единственности для характеристических функций получаем из 1) и 3), что функции Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru и Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru совпадают и из 2) следует утверждение второй части теоремы (доказательство от противного).

Доказательство завершено.

Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы представляют собой утверждения, устанавливающие условия сходимости (в том или ином смысле) последовательности случайных величин или последовательности распределений для некоторого класса вероятностных моделей. Существеннная роль, которую играют в теории вероятностей предельные теоремы объясняется тем, что в ряде случаев они представляют единственный способ качественного и количественного анализа сложных вероятностных моделей. Эти теоремы устанавливают близость (в некотором строго определенном смысле) одних вероятностных моделей другим. Применение предельных теорем позволяет выделить главные и второстепенные с количественной точки зрения свойства исследуемой вероятностной меры. Первой вероятностной моделью, для которой были получены предельные теоремы, является схема суммирования независимых слагаемых.

Схема суммирования независимых слагаемых

Классическая схема

Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

Обозначим

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

В данной схеме обычно исследуется предельное поведение величины

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru и ее нормированных вариантов Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru и Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru при больших n.

Схема серий

Рассмотрим последовательность векторов возрастающей размерности (иначе – серий), состоящих из независимых случайных величин

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

Обозначим

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru

Распределение случайных величин внутри и между сериями не предполагается одинаковым и может зависеть от n.

В данной схеме также исследуется предельное поведение величины

Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru и ее нормированных вариантов Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru и Теорема непрерывности для характеристических функций. - student2.ru при больших n. Схема серий является обобщением классической схемы суммирования. Примерами предельных теорем для частного случая классической схемы (схемы Бернулли) могут служить теорема Пуассона и закон больших чисел в форме Бернулли.

Современные предельные теоремы являются обычно собирательными утверждениями, т.е. такими утверждениями, которые справедливы сразу для большого класса объектов (в нашем случае вероятностных моделей). Первым примером предельной теоремы такого рода является закон больших чисел в форме Чебышева.

Наши рекомендации