Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов
Здесь полезно иметь в виду приведенные в предыдущем параграфе разложения в степенные ряды функций ex, shx, chx, sinx, cosx, (1+x)m, ln(1+x), arctgx.
Для вычисления логарифмов эффективна формула
Ряд в правой части равенства сходится тем быстрее, чем больше t .
Для вычисления приближенного значения функции f(х) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые п членов (п-—конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка < где — первый из отброшенных членов ряда.
403.Оценить погрешность приближенного равенства
0 < x < n+1
∆ Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после хп/п! в разложении ех:
или
Заменив каждый из сомножителей n+2, n+3, n+4, ... меньшей величиной n+1, получим неравенство
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках:
т.е. ▲
404. Вычислить с точностью до 0,00001.
∆ Используя разложение ех в ряд, получаем
Определим число n так, чтобы погрешность приближенного равенства
не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в предыдущем, примере. Полагаем х=1/2; тогда
т.е.
Путем подбора определим, при каком значении п будет выполняться неравенство Rп<0,00001. Полагая, например, n= 3, получаем R3 < 1/(8·6·7), т. е. R3 < 1/336. Пусть, далее, n = 5; отсюда R5 < 1/(32·120·11), т. е. R5< 1/42240. Пусть, наконец, n= 6; отсюда R6 < 1/(64·720·13), т. е. R6 < 1/100000. Итак, принимаем п = 6:
.
Суммируем слагаемые:
1,000000
0,500000
0,125000
+0,020833 (в 6 раз меньше предыдущего слагаемого)
0,002604 (« 8 « « « « )
0,000260 (« 10 « « « « )
0.000022 (« 12 « « « « )
.
Значит, Каждое слагаемое мы вычислили с точностью до 0,000001, чтобы при суммировании не получить погрешности, превышающей 0,00001.
405. Вычислить сточностью до 0,00001.
∆ Имеем
Воспользуемся приближенным равенством
Мы взяли 5 слагаемых, так как знакопеременный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из отброшенных членов равен 1/(5!55). Нетрудно видеть, что 1/(5!55) < 0,00001.
Произведя вычисления, в результате получаем . ▲
406.Пользуясь разложением соsx в ряд, вычислить соs 18° с точностью до 0,0001.
∆ Имеем
соs 18°= ;
Достаточно взять три члена ряда, так как (1/6!)-(π/10)6 < 0,0001. Тогда
. ▲
407.Вычислить с точностью до 0,0001.
∆ Воспользуемся разложением (1+x)m в ряд, полагая x = 0,1, m=1/5.
Имеем
Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак, ▲
408. Вычислить с точностью до 0,001.
∆ Так как 53 является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: 130 = 53 + 5. Тогда
Четвертый член меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, 5 + 0,0667—0,0009, т. е. 5,066. ▲
409.Вычислить ln1,04 с точностью до 0,0001.
∆ Воспользуемся разложением ln(1+x) в ряд:
или
откуда ln1,04≈ 0,0392. ▲
410.В прямоугольном треугольнике катеты равны 1 и 5 см. Определить острый угол треугольника, лежащий против меньшего катета, с точностью до 0,001 радиана.
∆ Так как tgα=1/5, то α=arctg(1,5). Воспользуемся разложением
откуда α ≈ 0,2—0,0027, т. е. α ≈ 0,197. ▲
411.Оценить погрешность приближенного равенства
∆ Задача сводится к оценке суммы остатка ряда
Заменив каждый из множителей 2n+З, 2n + 5, 2n+7, ... меньшим числом 2n+1, получим неравенство
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках:
т.е. ▲
412.Вычислить ln2 с точностью до 0,0001.
∆ В формуле для определения ln(t + 1) и неравенстве для оценки Rп полагаем t=1:
Путем подбора определим п так, чтобы выполнялось неравенство Rn<0,0001. Если n= 2, то R2 < 1/(4∙5∙33); R2 < 1/540; если n = 3, то R3 < 1(4∙7∙35); R3 < 1/6804; если n= 4, то R4 < 1/(4∙9∙37); R4 < 1/10000.
Итак, n = 4 и для вычисления ln 2 получаем приближенное равенство
Суммируя эти четыре слагаемых, получим
ln2 ≈ 0,66667 + 0,02469+0,00165+0,00013 = 0,69314≈ 0,6931. ▲
413.Вычислить ln5 с точностью до 0,0001.
∆ Полагаем t= 4. Тогда
Если n=1, то R1<1/(40∙3∙93); R1< 1/1080; если n= 2, то R2< < 1/(40∙5∙93); R2 < 1/10000. Значит, достаточно взять два члена ряда. Следовательно,
ln5 ≈ 2ln2+2 1,38628+0,22222+0,00090=1,60940. ▲
414.Доказать справедливость тождества π/4 = агсtg (1/2)+ агсtg(1/3) и вычислить πс точностью до 0,001.
∆ Полагая в равенстве
x=1/2, y=1/3, получаем
или π = 4 ( ).
Воспользовавшись разложением arctg х в ряд, имеем
π = 4
Выполняя вычисления, находим π = 3,1416.
Для вычисления числа π можно было воспользоваться рядами, которые сходятся быстрее, чем только что приведенные. ▲
Вычислить:
415.е с точностью до 0,00001.
415. с точностью до 0,00001.
416.sin9°C с точностью до 0,0001.
417.сh О,3 с точностью до 0,0001.
418. точностью до 0,0001.
419. с точностью до 0,001.
420.ln 0,98 с точностью до 0,0001.
421.ln 1,1 с точностью до 0,0001.
422.ln З с точностью до 0,0001.
423.ln 10 с точностью до 0,0001.
424.Найти наименьшее положительное значение х, удовлетворяющее тригонометрическому уравнению 2sinх—соsx=0.
425.Вычислить π с точностью до 0,001, полагая x=
в разложении аrctg х.