Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов

Здесь полезно иметь в виду приведенные в предыдущем параграфе раз­ложения в степенные ряды функций ex, shx, chx, sinx, cosx, (1+x)m, ln(1+x), arctgx.

Для вычисления логарифмов эффективна формула

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Ряд в правой части равенства сходится тем быстрее, чем больше t .

Для вычисления приближенного значения функции f(х) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые п членов (п-—конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного прибли­женного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравни­вают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знако­переменного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, исполь­зуется оценка приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru < приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru где приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru — первый из отброшенных членов ряда.

403.Оценить погрешность приближенного равенства

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru 0 < x < n+1

∆ Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после хп/п! в разложении ех:

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

или

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Заменив каждый из сомножителей n+2, n+3, n+4, ... меньшей вели­чиной n+1, получим неравенство

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квад­ратных скобках:

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru т.е. приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

404. Вычислить приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru с точностью до 0,00001.

∆ Используя разложение ех в ряд, получаем

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Определим число n так, чтобы погрешность приближенного равенства

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в преды­дущем, примере. Полагаем х=1/2; тогда

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru т.е. приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Путем подбора определим, при каком значении п будет выполняться неравенство Rп<0,00001. Полагая, например, n= 3, получаем R3 < 1/(8·6·7), т. е. R3 < 1/336. Пусть, далее, n = 5; отсюда R5 < 1/(32·120·11), т. е. R5< 1/42240. Пусть, наконец, n= 6; отсюда R6 < 1/(64·720·13), т. е. R6 < 1/100000. Итак, принимаем п = 6:

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru .

Суммируем слагаемые:

1,000000

0,500000

0,125000

+0,020833 (в 6 раз меньше предыдущего слагаемого)
0,002604 (« 8 « « « « )

0,000260 (« 10 « « « « )

0.000022 (« 12 « « « « )

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru .

Значит, приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru Каждое слагаемое мы вычислили с точностью до 0,000001, чтобы при суммировании не получить погрешности, превышаю­щей 0,00001.

405. Вычислить приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru сточностью до 0,00001.
∆ Имеем

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Воспользуемся приближенным равенством

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Мы взяли 5 слагаемых, так как знакопеременный ряд удовлетворяет усло­виям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый из отброшенных членов равен 1/(5!55). Нетрудно видеть, что 1/(5!55) < 0,00001.

Произведя вычисления, в результате получаем приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru . ▲

406.Пользуясь разложением соsx в ряд, вычислить соs 18° с точностью до 0,0001.

∆ Имеем

соs 18°= приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru ;

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Достаточно взять три члена ряда, так как (1/6!)-(π/10)6 < 0,0001. Тогда

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru . ▲

407.Вычислить приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru с точностью до 0,0001.

∆ Воспользуемся разложением (1+x)m в ряд, полагая x = 0,1, m=1/5.

Имеем

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак, приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

408. Вычислить приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru с точностью до 0,001.

∆ Так как 53 является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: 130 = 53 + 5. Тогда

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Четвертый член меньше 0,001, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru 5 + 0,0667—0,0009, т. е. приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru 5,066. ▲

409.Вычислить ln1,04 с точностью до 0,0001.
∆ Воспользуемся разложением ln(1+x) в ряд:

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

или

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

откуда ln1,04≈ 0,0392. ▲

410.В прямоугольном треугольнике катеты равны 1 и 5 см. Определить острый угол треугольника, лежащий против мень­шего катета, с точностью до 0,001 радиана.

∆ Так как tgα=1/5, то α=arctg(1,5). Воспользуемся разложением

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

откуда α ≈ 0,2—0,0027, т. е. α ≈ 0,197. ▲

411.Оценить погрешность приближенного равенства

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

∆ Задача сводится к оценке суммы остатка ряда

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Заменив каждый из множителей 2n+З, 2n + 5, 2n+7, ... меньшим числом 2n+1, получим неравенство

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квад­ратных скобках:

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru т.е. приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

412.Вычислить ln2 с точностью до 0,0001.

∆ В формуле для определения ln(t + 1) и неравенстве для оценки Rп полагаем t=1:

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Путем подбора определим п так, чтобы выполнялось неравенство Rn<0,0001. Если n= 2, то R2 < 1/(4∙5∙33); R2 < 1/540; если n = 3, то R3 < 1(4∙7∙35); R3 < 1/6804; если n= 4, то R4 < 1/(4∙9∙37); R4 < 1/10000.

Итак, n = 4 и для вычисления ln 2 получаем приближенное равенство

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Суммируя эти четыре слагаемых, получим

ln2 ≈ 0,66667 + 0,02469+0,00165+0,00013 = 0,69314≈ 0,6931. ▲

413.Вычислить ln5 с точностью до 0,0001.
∆ Полагаем t= 4. Тогда

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Если n=1, то R1<1/(40∙3∙93); R1< 1/1080; если n= 2, то R2< < 1/(40∙5∙93); R2 < 1/10000. Значит, достаточно взять два члена ряда. Сле­довательно,

ln5 ≈ 2ln2+2 приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru 1,38628+0,22222+0,00090=1,60940. ▲

414.Доказать справедливость тождества π/4 = агсtg (1/2)+ агсtg(1/3) и вычислить πс точностью до 0,001.

∆ Полагая в равенстве

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

x=1/2, y=1/3, получаем

приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru или π = 4 ( приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru ).

Воспользовавшись разложением arctg х в ряд, имеем

π = 4 приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru

Выполняя вычисления, находим π = 3,1416.

Для вычисления числа π можно было воспользоваться рядами, которые сходятся быстрее, чем только что приведенные. ▲

Вычислить:

415.е с точностью до 0,00001.

415. приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru с точностью до 0,00001.

416.sin9°C с точностью до 0,0001.

417.сh О,3 с точностью до 0,0001.

418. приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru точностью до 0,0001.

419. приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru с точностью до 0,001.

420.ln 0,98 с точностью до 0,0001.

421.ln 1,1 с точностью до 0,0001.

422.ln З с точностью до 0,0001.

423.ln 10 с точностью до 0,0001.

424.Найти наименьшее положительное значение х, удовлетворяющее тригонометрическому уравнению 2sinх—соsx=0.

425.Вычислить π с точностью до 0,001, полагая x= приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов - student2.ru
в разложении аrctg х.

Наши рекомендации