Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Как уже известно, приращение функции в точке x можно представить в виде , где при , или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство

,

причем это равенство тем точнее, чем меньше .

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно прира-щение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому эта формула широко применяется в вычислительной практике.

Подставляя в равенство значения и , получаем

или

(16.12.)

Формула (16.12.) используется для вычислений приближенных значений функции.

Пример 16.15. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию ;

, где .

Находим первую производную функции и значение первой производной в точке .

;

.

Находим значение функции в точке :

.

Тогда

.

,

Дифференциалы высших порядков

Пусть дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Ее первый дифференциал есть также функция x. Можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, т.е.

.

Найдем выражение второго дифференциала функции . Так как не зависит от x, то при дифференцировании считаем постоянным:

.

Таким образом, получаем

. (16.13.)

Равенство (16.13.) есть формула, по которой находится дифференциал второго порядка функции , если x – независимая переменная.

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

.

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: .

Отсюда находим, что . В частности, при соответственно получаем:

, , .

т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если x – независимая переменная. Если же функцию , где x есть функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения ( ), полу-чаем:

,

т.е.

. (16.14.)

Сравнивая формулы (15.13.) и (15.14.), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое .

Ясно, что если x – независимая переменная, то

и формула (16.14.) переходит в формулу (16.13.)

Пример 16.16. Найти , если , x – независимая переменная.

Решение. Находим последовательно и :

;

.

Тогда по формуле (16.13.) получаем

.

,