Криволинейный интеграл 2 рода

Пусть задана некоторая линия γ. Найти работу, которая совершит переменная сила F( x, y ) при перемещении некоторой точки из положения А в положении В по линии γ.

Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

Разобьем линию на бесконечно малые участки точками М1, М2, … , тогда работа силы на всей линии равна сумме работ на каждом участке

Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

Так как отрезки разбиения бесконечно малы, то их условно можно считать прямолинейными отрезками. Кроме того, будем считать, что в пределах каждой ячейки сила не меняется, и она в пределах ячейки определяется вектором в некоторой точке Ci внутри этой ячейки. Работу внутри каждой ячейки приближенно заменим на элементарную работу силы (скалярное произведение силы на вектор перемещения)

Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

Данная сумма называется криволинейной интегральной суммой второго рода.

Предел криволинейной суммы второго рода, при условии стремления к нулю всех участков разбиения, называется криволинейным интегралом второго рода, если он существует, не зависит от разбиения линии и от выбора точек внутри каждой ячейки

Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

Если вектор силы задан своими координатами, которые являются функциями координат точки

Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

то, воспользовавшись формулой скалярного произведения в координатной форме, получим криволинейный интеграл второго рода в координатной форме: Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

Формула Грина

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по области D, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

Пусть C — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D — область, ограниченная кривой C. Если функции P = P(x,y), Q = Q(x,y) определены в области D и имеют непрерывные частные производные Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru , Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru , то

Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая C замкнута.

Поверхностный интеграл 1 рода

Предел поверхностной интегральной суммы первого рода при безграничном ростре числа областей дробления σ1, σ2, … , σ n и стремления к нулю длины контуров всех областей дробления называется поверхностным интегралом первого рода

. Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

Нормаль к поверхности

Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:

. Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

Знак нормали зависит от выбора координат.

Поверхностный интеграл 2 рода

Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода. Криволинейный интеграл 2 рода - student2.ru

Наши рекомендации