Криволинейный интеграл II рода

Рассмотрим пространство R2. Пусть в области DÌR2 определены две непрерывные функции P(x,y), Q(x,y), тогда в любой точке М(x,y) Î D определена векторная функция `F(x, y) = (P(x, y); Q(x, y)), которую в векторной форме можно записать в виде: Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) определены в точках гладкой дуги Криволинейный интеграл II рода - student2.ru кривой L Ì D. Разобьем дугу Криволинейный интеграл II рода - student2.ru на части точками М12, ...Мn. На каждой дуге Криволинейный интеграл II рода - student2.ru возьмем произвольную точку Криволинейный интеграл II рода - student2.ru и вычислим значение Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Пусть [a, b]и[c, d] – проекции Криволинейный интеграл II рода - student2.ru на OX и OY соответственно, т.е. xÎ[a,b], y Î [c, d], когда М(х, у) Î Криволинейный интеграл II рода - student2.ru . Каждую частичную дугу спроектируем на оси координат, получим разбиение отрезков [a, b]и[c, d] на n частей, длины частичных интервалов обозначим соответственно Dхk и Dyk. Составим интегральную сумму вида:

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Эта сумма представляет собой сумму скалярных произведений векторов Криволинейный интеграл II рода - student2.ru на векторы Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , где Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , т.е. Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Обозначим Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Определение 5.1

Если существует Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , не зависящий ни от способа разбиения дуги Криволинейный интеграл II рода - student2.ru на части, ни от выбора точки Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , то этот предел называется криволинейным интегралом II рода и обозначается Криволинейный интеграл II рода - student2.ru или Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Итак, криволинейный интеграл II рода

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru ,

Заметим, что условие Криволинейный интеграл II рода - student2.ru →0 равносильно условиям Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

В отличие от криволинейного интеграла I рода, который еще называют интегралом по длине дуги, криволинейный интеграл II рода называют криволинейным интегралом по координатам.

Свойства:

1. Криволинейный интеграл II рода - student2.ru - меняет знак при изменении ориентации кривой (направления движения по кривой).

2. Свойство линейности, аддитивности (АВ = АС + СВ) аналогичны свойствам криволинейного интеграла I рода. В частности, Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

3. Связь между криволинейными интегралами I и II рода выражает формула: Криволинейный интеграл II рода - student2.ru ,

где (cosa,cosb) – направляющие косинусы касательной к дуге АВ в любой ее точке.

Способы вычисления криволинейного интеграла II рода:

1) Если АВ: y = j(x), x Î [a, b], то dy = j¢(x)dx и

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

2) Если АВ: x = y(y), y Î [c, d],то dx = y¢(y)dy и

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

3) Если АВ: Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , t Î [a,b], dx = x¢(t)dt, dy = y¢(t)dt, то

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Аналогично можно дать определение криволинейного интеграла II рода по пространственной кривой

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Пример 2.

Вычислить Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , где АВ – отрезок прямой между точками В(1, 1, 1), А(0, 0, 2).

Решение:Найдем уравнение АВ:

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Тогда Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , значит,

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Физический смысл криволинейного интеграла II рода:

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

определяет работу силы Криволинейный интеграл II рода - student2.ru при перемещении материальной точки вдоль кривой L из положения А в положение В. Действительно, пусть материальная точка M(x,y) движется вдоль некоторой плоской (можно аналогично рассмотреть и пространственную) кривой L от точки A к точке B. Пусть вдоль кривой действует сила Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , которая меняется по величине и направлению при перемещении точки M, т.е. сила Криволинейный интеграл II рода - student2.ru является функцией точки: Криволинейный интеграл II рода - student2.ru . Найдём работу A силы при перемещении точки из положения A в положение B.

Как известно, в случае, когда сила постоянна, а путь прямолинейный, работа равна Криволинейный интеграл II рода - student2.ru (*), т.е. скалярному произведению вектора силы Криволинейный интеграл II рода - student2.ru на вектор перемещения Криволинейный интеграл II рода - student2.ru . Воспользуемся этим фактом и для решения поставленной задачи.

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru 1) Разобьём дугу AB в направлении от точки A к точке B на n частей точками A=M0,M1, M2,…, Mn=B и обозначим через Криволинейный интеграл II рода - student2.ru вектор Криволинейный интеграл II рода - student2.ru . Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Тогда

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

(рис.34). Пусть λ – наибольшая из длин этих векторов, т.е.

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Криволинейный интеграл II рода - student2.ru 2) На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку Криволинейный интеграл II рода - student2.ru k(xk,yk) и предположим, что в пределах каждой элементарной дуги сила Криволинейный интеграл II рода - student2.ru постоянна и равна Криволинейный интеграл II рода - student2.ru . Тогда в силу (*), скалярное произведение Криволинейный интеграл II рода - student2.ru можно рассматривать как приближённое значение работы Ak силы вдоль дуги Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Пусть Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Тогда Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

3) Искомая работа A силы на всей дуге AB будет приближённо равна

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru и это приближённое равенство тем точнее, чем меньше λ.

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru 4) Следовательно, истинное значение работы A силы Криволинейный интеграл II рода - student2.ru при перемещении точки M по дуге AB получим, переходя к пределу при λ→0: Криволинейный интеграл II рода - student2.ru = Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Рассмотрим замкнутую кривую C, будем называть ее замкнутымконтуром. Ориентацию на этой кривой выберем следующим образом: если при движении точки М вдоль кривой ограниченная этим контуром область G остается слева, то направление движения (ориентацию на кривой) будем считать положительным. В противном случае – отрицательным.

       
  Криволинейный интеграл II рода - student2.ru
    Криволинейный интеграл II рода - student2.ru
 

Криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру будем обозначать Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Справедлива

Теорема 5. 1 (формула Грина)

Пусть С – положительно ориентированная замкнутая кривая, ограничивающая область D, а функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими производными Криволинейный интеграл II рода - student2.ru в области D и на границе C. Тогда имеет место равенство

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

(без доказательства). Это равенство называют формулой Грина.

Пример 3.

Вычислить Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Решение:Здесь Р(х, у) = у, Q(x, y) =(x+1), Криволинейный интеграл II рода - student2.ru . Тогда по формуле Грина

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Здесь мы используем свойство двойного интеграла Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Заметим, что если Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , то

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Рассмотрим три случая:

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Тогда

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла II рода по замкнутому контуру С можно найти площадь области, ограниченной этим контуром:

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Справедливо также следующая важная

Теорема 5.2

Если функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими производными Криволинейный интеграл II рода - student2.ru в области D и Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , то следующие утверждения эквивалентны:

1. для любого замкнутого контура Криволинейный интеграл II рода - student2.ru ;

2. Криволинейный интеграл II рода - student2.ru - не зависит от пути интегрирования АВ, а зависит только от начальной А и конечной В его точек и обозначается: Криволинейный интеграл II рода - student2.ru . Условие Криволинейный интеграл II рода - student2.ru при этом называют условием независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

3. существует функция и(х,у) такая, что Криволинейный интеграл II рода - student2.ru а Криволинейный интеграл II рода - student2.ru и тогда

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Доказательство первого из этих утверждений легко следует из формулы Грина. Доказательство второго из этих утверждений проведите или изучите самостоятельно.

Третье утверждение рассмотрим без доказательства. Отметим только его важный смысл: равенство Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , по существу, представляет аналог формулы Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла второго рода. Если при этом А(х0, y0) – некоторая фиксированная точка, а В(x, y) – текущая точка области D, то

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru ,

что означает аналог теоремы Барроу, где С = - u(х0, y0). Таким образом, если по известному дифференциалу Криволинейный интеграл II рода - student2.ru функции двух переменных требуется найти функцию u(х, y), нужно вычислить криволинейный интеграл второго рода от выражения du по любому пути, соединяющему произвольную фиксированную точку (х0, у0) области определения функций Криволинейный интеграл II рода - student2.ru и текущую точку (х, у). Очевидно, такие функции определяются с точностью до константы.

Пример 4.

Вычислить Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Так как P = x+2y, Q = y+2x – непрерывные функции, Криволинейный интеграл II рода - student2.ru – тоже непрерывные и выполняется условие Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , то интеграл не зависит от вида кривой, а зависит только от точек (1, 1) и (3, 5). Значит, можно выбрать любую линию, их соединяющую.

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Рассмотрим ломанную АСВ, где С (3, 1), со звеньями, параллельными осям координат. Тогда Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Но АС: y = 1, dy = 0, x Î [1, 3],

CB: x = 3, dx = 0, y Î [1, 5].

Тогда

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Рассмотрим прямую АВ: Криволинейный интеграл II рода - student2.ru 2(x-1) = (y-1), откуда

y = 2x-2+1, y = 2x-1, а dy = 2dx. Тогда

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Пример 5.

Найти функцию U(x,y) по ее дифференциалу

dU = ( x4+ 4xy3)dx + (6x3y2 - 5y4)dy.

Решение:Убедимся в том, что для P=x4+4xy3 и Q=6x3y2-5y4 выполняется условие Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Тогда Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru = Криволинейный интеграл II рода - student2.ru ,

где Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Если взять (х0, y0)= (0, 0), получим:

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

В случае функции 3-х переменных и пространственной кривой L, условия независимости интеграла Криволинейный интеграл II рода - student2.ru от пути интегрирования (или того, что Криволинейный интеграл II рода - student2.ru есть дифференциал некоторой функции) имеют вид:

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Пример 6.

Вычислить Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Решение:Здесь Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Криволинейный интеграл II рода - student2.ru Криволинейный интеграл II рода - student2.ru , значит, данный криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, в только от начальной (0, 0, 0) и конечной (2, 3, 4) точек. Возьмем, например отрезок прямой, соединяющей эти точки, его уравнения

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru .

Тогда

Криволинейный интеграл II рода - student2.ru

Наши рекомендации