Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)

Решение.

1. К ряду применим радикальный признак Коши: если , то положительный ряд сходится при и расходится, когда

Так как , то ряд расходится.

2. Рассмотрим ряд Проверим необходимое условие сходимости: если ряд сходится, то .

Поскольку , необходимое условие не выполняется, значит ряд расходится.

3. При исследовании сходимости ряда можно воспользоваться предельным признаком сравнения положительных рядов: если существует конечный и отличный от нуля предел то положительные ряды и одинаковы в смысле сходимости.

Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд

, сходящийся при и расходящийся для При получим сходящийся ряд .

Применим теорему сравнения

Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд также сходится.

Задача 22.Исследовать на сходимость ряды:

1) 2)

Решение.

1. Рассмотрим ряд .

Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

сходится при условии:

1)

2) .

Так как и , условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд сходится. Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных величин

.

Получили положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости – признак Даламбера: если то положительный ряд сходится при и расходится, когда

Поскольку

,

ряд сходится, следовательно, ряд сходится абсолютно.

2. Рассмотрим ряд .

Условия признака Лейбница выполняются:

1) 2) Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин Применяем интегральный признак сходимости Маклорена-Коши: положительный ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится (здесь при - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что ).

Вычисляем

Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд , а исходный ряд сходится условно.

Отметим, что при исследовании сходимости ряда

можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).

Задача 23.Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной ряд вида

Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:

или .

Интервал абсолютной сходимости степенного ряда определяется неравенством . Вне этого интервала, при ряд расходится. На концах интервала – в точках поведение ряда исследуется особо.

Находим радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как , получаем

Тогда ряд сходится, если , откуда , то есть .

Исследуем сходимость ряда в точках и .

При исходный ряд принимает вид

Это обобщенный гармонический сходящийся ряд ( сходится, если ).

При получаем знакочередующийся ряд Этот ряд сходится (притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:

Итак, исходный ряд сходится для всех .

Задача 24.Найти коэффициенты и разложения в ряд Фурье функции

.

Записать это разложение.

Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

,

где

Найдем коэффициенты и . Так как , получим

Так как можно заменить более простой функцией , получим .

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:

Задача 25.Найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам функции

.

Решение. Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам определяются по формуле (41):

Тогда

Так как , получим

Дифференциальные уравнения

Задача 26.Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Задача 27.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем

,

Уравнение примет вид

Разделяем переменные и интегрируем:

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде

Задача 28.Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах:

1)

2)

3)

Решение. Дифференциальное уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие

Проверим его для каждого уравнения.

1.

Условие не выполняется.

2.

Условие выполняется, тогда

- уравнение в полных дифференциалах.

3.

Условие не выполняется.

Задача 29.Найти общее решение дифференциального уравне­ния

Решение. Этолинейное однородное дифференциальное урав­нение 3 порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение (см. прил.2, п.1)

Так как его корни действительны и различны ( ), общее решение исходного уравнения имеет вид

или

Задача 30.Найти общее решение дифференциального уравне­ния

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 4 порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение (см. прил. 2, п.1)

Паре корней соответствует решение

Комплексным корням соответствует решение

Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений

Задача 31.Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. Согласно теории таких уравнений (см. прил. 2, п.2) сначала решаем характеристическое уравнение

Затем правую часть уравнения представляем в виде

Получим Здесь,

Частное решение, определяемое по правой части, будет иметь вид

где S – показатель кратности числа 5 как корня характеристического уравнения

Итак, или

Задача 32.Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни

Будем искать частное решение данного уравнения по виду правой части (см. прил. 2, п. 2).

Запишем правую часть данного уравнения в виде

Получим

Значит,

Частное решение будет иметь вид

где - показатель кратности корня в характеристическом уравнении.

Так как в данном случае значение совпадает с корнем характеристического уравнения и , получим

или

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1967. 350 с.

2. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-5 для студентов вузов. Самара, 2000. 54 с.

3. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-6 для студентов вузов. Самара, 2000. 61 с.

4. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-7 для студентов вузов. Самара, 2000. 72 с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М., 1970, 800 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М., 1963, 656 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Таблица интегралов

; (1)

; (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Формула интегрирования по частям

; (17)

; (18)

; (19)

Продолжение прил. 1

; (20)

; (21)

; (22)

. (23)

Ряды Фурье

Разложение в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

, (36)

где

. (37)

Окончание прил.1

Разложение в ряд Фурье по косинусам функции , заданной на отрезке :

; (38)

. (39)

Разложение в ряд Фурье по синусам функции , заданной на отрезке :

; (40)

. (41)

Приложение 2

Дифференциальные уравнения

1. При решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

составляют характеристическое уравнение

.

Общее решение имеет вид:

1) ,если корни и действительны и различны;

2) ,если (корень кратности 2);

3) если корни комплексные

2. Если задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами

то его общее решение

Окончание прил. 2

где - общее решение соответствующего однородного уравнения;
- частное решение неоднородного уравнения.

Если , где - многочлен степени m, то следует искать в виде

где S - показатель кратности корня в характеристическом уравнении (если не является корнем характеристического уравнения, ); - многочлен степени т (с другими, вообще говоря, коэффициентами, чем ).

Если же

то следует искать в виде

где - показатель кратности корня в характеристическом уравнении (если не является корнем характеристического уравнения, ).

Решение.

1. К ряду применим радикальный признак Коши: если , то положительный ряд сходится при и расходится, когда

Так как , то ряд расходится.

2. Рассмотрим ряд Проверим необходимое условие сходимости: если ряд сходится, то .

Поскольку , необходимое условие не выполняется, значит ряд расходится.

3. При исследовании сходимости ряда можно воспользоваться предельным признаком сравнения положительных рядов: если существует конечный и отличный от нуля предел то положительные ряды и одинаковы в смысле сходимости.

Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд

, сходящийся при и расходящийся для При получим сходящийся ряд .

Применим теорему сравнения

Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд также сходится.

Задача 22.Исследовать на сходимость ряды:

1) 2)

Решение.

1. Рассмотрим ряд .

Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

сходится при условии:

1)

2) .

Так как и , условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд сходится. Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных величин

.

Получили положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости – признак Даламбера: если то положительный ряд сходится при и расходится, когда

Поскольку

,

ряд сходится, следовательно, ряд сходится абсолютно.

2. Рассмотрим ряд .

Условия признака Лейбница выполняются:

1) 2) Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин Применяем интегральный признак сходимости Маклорена-Коши: положительный ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится (здесь при - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что ).

Вычисляем

Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд , а исходный ряд сходится условно.

Отметим, что при исследовании сходимости ряда

можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).

Задача 23.Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной ряд вида

Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:

или .

Интервал абсолютной сходимости степенного ряда определяется неравенством . Вне этого интервала, при ряд расходится. На концах интервала – в точках поведение ряда исследуется особо.

Находим радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как , получаем

Тогда ряд сходится, если , откуда , то есть .

Исследуем сходимость ряда в точках и .

При исходный ряд принимает вид

Это обобщенный гармонический сходящийся ряд ( сходится, если ).

При получаем знакочередующийся ряд Этот ряд сходится (притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:

Итак, исходный ряд сходится для всех .

Задача 24.Найти коэффициенты и разложения в ряд Фурье функции

.

Записать это разложение.

Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

,

где

Найдем коэффициенты и . Так как , получим

Так как можно заменить более простой функцией , получим .

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:

Задача 25.Найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам функции

.

Решение. Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам определяются по формуле (41):

Тогда

Так как , получим

Дифференциальные уравнения

Задача 26.Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Задача 27.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем

,

Уравнение примет вид

Разделяем переменные и интегрируем:

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде

Задача 28.Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах:

1)

2)

3)

Решение. Дифференциальное уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие

Проверим его для каждого уравнения.

1.

Условие не выполняется.

2.

Условие выполняется, тогда

- уравнение в полных дифференциалах.

3.

Условие не выполняется.

Задача 29.Найти общее решение дифференциального уравне­ния

Решение. Этолинейное однородное дифференциальное урав­нение 3 порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение (см. прил.2, п.1)

Так как его корни действительны и различны ( ), общее решение исходного уравнения имеет вид

или

Задача 30.Найти общее решение дифференциального уравне­ния

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 4 порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение (см. прил. 2, п.1)

Паре корней соответствует решение

Комплексным корням соответствует решение

Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений

Задача 31.Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. Согласно теории таких уравнений (см. прил. 2, п.2) сначала решаем характеристическое уравнение

Затем правую часть уравнения представляем в виде

Получим Здесь,

Частное решение, определяемое по правой части, будет иметь вид

где S – показатель кратности числа 5 как корня характеристического уравнения

Итак, или

Задача 32.Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния

Решение.

Наши рекомендации